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    設函數(shù)f(x)=x3+2bx2+cx-2的圖象與x軸相交于一點P(t,0),且在點P(t,0)處的切線方程是y=5x-10.
    (I)求t的值及函數(shù)f(x)的解析式;
    (II)設函數(shù)g(x)=f(x)+
    1
    3
    mx
    (1)若g(x)的極值存在,求實數(shù)m的取值范圍.
    (2)假設g(x)有兩個極值點x1,x2(且x1≥0,x2≥0),求x
     
    2
    1
    +x
     
    2
    2
    關于m的表達式φ(m),并判斷φ(m)是否有最大值,若有最大值求出它;若沒有最大值,說明理由.
    分析:(I)利用條件f(x)與x軸相交于一點P(t,0),且在點P(t,0)處的切線方程是y=5x-10,求出對應的b,c.
    (II)求函數(shù)的導數(shù),利用函數(shù)的極值和導數(shù)的關系,確定m的取值范圍.
    解答:解:(I)設切點P(t.0)代入直線方程y=5x-10,得P (2,0),
    且有f(2)=0,即4b+c+3=0…①…(2分)
    又f'(x)=3x2+4bx+c,由已f'(2)=12+8b+c=5得8b+c+7=0  …②
    聯(lián)立①②,解得b=-1,c=1.
    所以函數(shù)的解析式f(x)=x3-2x2+x-2    …(4分)
    (II)(1)因為g(x)=x3-2x2+x-2+
    1
    3
    mx
    ,
    g′(x)=3x2-4x+1+
    1
    3
    m=0

    當函數(shù)有極值時,則△≥0,方3x2-4x+1+
    1
    3
    m=0
    有實數(shù)解,
    由△=4(1-m)≥0,得m≤1.        …(8分)
    ①當m=1時,g'(x)=0有實數(shù)x=
    2
    3
    ,在x=
    2
    3
    的左右兩側均g'(x)>0,故函數(shù)g(x)無極值
    ②當m<1時,g'(x)=0有兩個實數(shù)根x1,x2,(x1<x2).
    g'(x),g(x)情況如下表:
    x (-∞,x1 x1 (x1,x2 x2 (x2,+∞)
    g'(x) + 0 - 0 +
    g(x) 極大值 極小值
    所以在m∈(-∞,1)時,函數(shù)g(x)有極值;…(10分)
    (2)由(1)得m∈(-∞,1)且x1+x2=
    4
    3
    ,x1x2=
    3+m
    9

    x12+x22=φ(m)=(x1+x2)2-2x1x2=
    16
    9
    -
    2(3+m)
    9
    =
    10-m
    9
    …(12分)
    x1x2=
    3+m
    9
    .≥0,m∈(-∞,1)
    φ(m)=
    10-m
    9
    ,-3≤m<1,故φ(m)有最大值為φ(-3)=
    13
    9
    …(14分)
    點評:本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值,要使熟練掌握導數(shù)和函數(shù)的單調性和極值的關系,運算量較大,綜合性較強.
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    (1)若x=1時,函數(shù)f(x)取得極值,求函數(shù)f(x)的圖象在x=-1處的切線方程;
    (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(
    12
    ,1)
    內不單調,求實數(shù)a的取值范圍.

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    設函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x+5(a>0)
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    (2)若a∈[3,6],當x∈[-4,4]時,求函數(shù)f(x)的最大值.

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    (Ⅰ)函數(shù)在(1,f(1))處的切線方程;
    (Ⅱ)函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.

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