Question

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，短軸長與焦距相等，直線x+y-1=0與E相交于A，B兩點，與x軸相交于C點，且

AC

=3

CB

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如果橢圓E上存在兩點M，N關(guān)于直線l：y=4x+m對稱，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)短軸與焦距相等得到b與c相等，且a等于

2

b，則b²=c²，a²=2c²設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)出已知直線與E的交點A與B的坐標(biāo)，然后把直線方程代入到設(shè)出的橢圓方程中，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理得到兩個之和和兩根之積的關(guān)系式，同時利用求出C的坐標(biāo)，和設(shè)出的A和B的坐標(biāo)，由

AC

=3

CB

得到A與B橫坐標(biāo)之間的關(guān)系式，三者聯(lián)立即可求出A與B的橫坐標(biāo)及c的值，把c的值代入所設(shè)的橢圓方程即可得到橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)出橢圓E上兩點M與N的坐標(biāo)，把設(shè)出的兩點坐標(biāo)分別代入到（Ⅰ）求出的橢圓方程得到兩個關(guān)系式并設(shè)出MN的中點坐標(biāo)，把兩個關(guān)系式相減并利用中點坐標(biāo)公式化簡即可得到MN中點橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，然后根據(jù)M與N關(guān)于直線l對稱得到MN的中點在直線l上，把MN的中點坐標(biāo)代入直線l的方程又得到中點橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，兩個關(guān)系式聯(lián)立即可求出橫縱坐標(biāo)關(guān)于m的中點坐標(biāo)，然后根據(jù)中點在橢圓內(nèi)部，所以把中點坐標(biāo)代入橢圓方程后其值小于1，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)所求的橢圓E的方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1（c＞0），
A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），將y=1-x代入橢圓得3x²-4x+2-2c²=0，
∵

AC

=3

CB

，又C（1，0），
∴

x1+3x2

4

=1，
∴

x1+3x2 4 =1 x1+x2= 4 3 x1•x2= 2-2c2 3

?

x1=0 x2= 4 3 c=1

，
∴所求的橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1；

（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，
又設(shè)MN的中點為（x₀，y₀），則以上兩式相減得：-

1

2

x0

y0

=-

1

4

，

y0=2x0 y0=4x0+m

?

x0=- m 2 y0=-m

，
又點（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)，∴

x 2 0

2

+

y

2 0

＜1，
即

1

2

×

m2

4

+m2＜1，化簡得：9m²-8＜0，
因式分解得：（3m+2

2

）（3m-2

2

）＜0，
解得：-

2 2

3

＜m＜

2 2

3

．

點評：此題考查學(xué)生會求直線與曲線的交點坐標(biāo)，掌握橢圓的簡單性質(zhì)，會利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握一點在橢圓的內(nèi)部所滿足的條件，靈活運用中點坐標(biāo)公式及對稱知識解決實際問題，是一道綜合題．