Question

（本小題滿分12分）
如圖，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線為對應(yīng)的準(zhǔn)線，直線與軸交于點(diǎn)，為橢圓的長軸，已知，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：對于任意的割線，恒有；
（3）求三角形△ABF面積的最大值．

Answer 1

解（1）∵，∴，
又∵，∴，
∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．     ………（3分）
（2）當(dāng)的斜率為0時(shí)，顯然=0，滿足題意，
當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)方程為，
代入橢圓方程整理得：．
，，．
則

，
而
∴，從而．
綜合可知：對于任意的割線，恒有．        ………（8分）
（3），
即：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時(shí)適合于的條件）取到等號(hào)．
∴三角形△ABF面積的最大值是．………（12分）

解析