Question

若等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），公差d是(

x

-

2

x

)k的展開式中x²的系數(shù)，其中k為55⁵⁵除以8的余數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n+15n-75，求證：

3

2

≤(1+

1

2bn

)bn＜

5

3

．

Answer 1

分析：（1）在a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），根據(jù)排列組合的意義列出不等關(guān)系求出x，從而得出首項，又55⁵⁵=（56-1）⁵⁵=56m-1求出k值，利用二項式定理求出公差d，最后利用等差數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列{a_n}的通項公式即可；
（2）結(jié)合（1）求得b_n，化簡(1+

1

2bn

)bn=(1+

1

2n

)n，利用數(shù)列{(1+

1

2n

)n}是遞增數(shù)列，即可得到證明．

解答：解：（1）在a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），中，有

2x-3≥x-1 x+1≥2x-3 x∈N x＞3

⇒x=4，
∴a₁=A₅³+C₅⁵=61，
又55⁵⁵=（56-1）⁵⁵=56m-1，m∈Z，∴55⁵⁵除以8的余數(shù)為7，∴k=7，
因(

x

-

2

x

)7的展開式中，通項為

C

r 7

(

x

)  7-r(-

2

x

)  r，當r=1時，它是含x²的項，
∴(

x

-

2

x

)k的展開式中x²的系數(shù)是：-C₇¹×2=-14，
∴d=-14，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=61+（n-1）×（-14）=75-14n，
（2）∵b_n=a_n+15n-75=75-14n+15n-75=n，
∴(1+

1

2bn

)bn=(1+

1

2n

)n，數(shù)列{(1+

1

2n

)n}是遞增數(shù)列，
且當n=1時，(1+

1

2n

)n=

3

2

，
由于

lim

n→∞

(1+

1

2n

)n=[

lim

n→∞

(1+

1

2n

)2n] 

1

2

=

e

，
∴當n→+∞時，(1+

1

2n

)n→

e

＜

5

3

，
∴

3

2

≤(1+

1

2bn

)bn＜

5

3

．

點評：本小題主要考查排列組合、二項式定理、數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用、數(shù)列與不等式的綜合、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查極限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，易錯點是不能根據(jù)隱含條件得出變量x的值，屬于中檔題．