Question

如圖，摩托車(chē)做騰躍特技表演，以初速υ₀沖上高為h、頂部水平的高臺(tái)，然后從高臺(tái)水平飛出．若摩托車(chē)始終以額定功率P行駛，經(jīng)時(shí)間t從坡底到達(dá)坡頂，人和車(chē)的總質(zhì)量為m，且各種阻力的影響可忽略不計(jì)，求：
（1）人和車(chē)到達(dá)坡頂時(shí)的速度υ；
（2）人和車(chē)飛出的水平距離s；
（3）當(dāng)h為多少時(shí)，人和車(chē)飛出的水平距離最遠(yuǎn)？

Answer 1

分析：（1）欲求人和車(chē)在坡頂?shù)乃俣龋�根�?jù)功能關(guān)系或動(dòng)能定理列出方程，
物體的重力勢(shì)能增加mgh、動(dòng)能增加

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

，這都是發(fā)動(dòng)機(jī)做功的結(jié)果即Pt=mgh+

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

；
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，二者等時(shí)，聯(lián)立求解．
（3）運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)：不等式

ab

≤

a+b

2

當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，對(duì)水平方向距離來(lái)確定h取何值時(shí)，s有最大值．

解答：解：（1）對(duì)人從坡底到達(dá)坡頂，
利用動(dòng)能定理：Pt-mgh=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

得：υ=

υ 2 0 + 2Pt m -2gh

（2）人和車(chē)做平拋運(yùn)動(dòng)，將其分解為水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)．
豎直方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=

2h g

水平方向的距離為s=vt=

υ 2 0 + 2Pt m -2gh

?

2h g

=

2h( υ 2 0 g + 2Pt mg -2h)

（3）利用不等式

ab

≤

a+b

2

當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，所以由上式可得：
當(dāng) 2h=

υ 2 0

g

+

2Pt

mg

-2h時(shí)，
即h=

1

4

(

υ 2 0

g

+

2Pt

mg

)時(shí)，s取最大值．
答：（1）人和車(chē)到達(dá)坡頂時(shí)的速度υ=

υ 2 0 + 2Pt m -2gh

；
（2）人和車(chē)飛出的水平距離

2h( v 2 0 g + 2Pt mg -2h)

；
（3）當(dāng)h=

1

4

(

υ 2 0

g

+

2Pt

mg

)時(shí)，人和車(chē)飛出的水平距離最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng)：這是一道全面考察功能關(guān)系和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的題目，關(guān)鍵是正確建立方程．是一道好題．