Question

如圖所示，一個(gè)內(nèi)壁光滑的環(huán)形塑料管豎直放置，ab為該環(huán)形塑料管水平直徑，其長(zhǎng)度為2R，ab及其以下部分處于水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．現(xiàn)將一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球從管中a點(diǎn)由靜止釋放，球的直徑略小于管的內(nèi)徑，已知qE=mg，求：
（1）小球第一次經(jīng)過(guò)b點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）小球第一次經(jīng)過(guò)c點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁的壓力；
（3）小球第一次經(jīng)過(guò)adb過(guò)程中對(duì)管道的最大壓力．

Answer 1

分析：（1）小球從a運(yùn)動(dòng)到b的過(guò)程中，重力和電場(chǎng)力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求解小球第一次經(jīng)過(guò)b點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）由動(dòng)能定理求出小球到達(dá)c點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求解小球第一次經(jīng)過(guò)c點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁的壓力；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理得到速度與圖中夾角θ的表達(dá)式，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出速度的最大值，此時(shí)小球?qū)�管道的最大壓力．根�?jù)牛頓第二定律求出最大壓力．

解答：解：（1）小球從a運(yùn)動(dòng)到b的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得
 

1 2 m v 2 b -0=2REq vb=2 gR

（2）小球從a運(yùn)動(dòng)到c的過(guò)程中，由動(dòng)能定理
-mgR+EqR=

1

2

m

v

2 C

已知qE=mg，得v_C=0
在c點(diǎn)，mg+F_N=m

v 2 C

R

聯(lián)立解得，F(xiàn)_N=-mg，即軌道對(duì)小球的支持力豎直向上，則根據(jù)牛頓第三定律得：小球第一次經(jīng)過(guò)c點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁的壓力大小為mg，方向豎直向下．
（3）設(shè)當(dāng)小球在如圖夾角θ時(shí)速度最大，由動(dòng)能定理
(R+Rsinθ)Eq+mgRcosθ=

1

2

mv2
得2gR（1+sinθ+cosθ）=v²
所以v=

2gR(1+sinθ+cosθ)

=

2gR[1+ 2 sin(θ+45°)]

當(dāng)θ=45°時(shí) 最大速度為v=

2gR(1+ 2 )

此時(shí)重力與電場(chǎng)力的合力為

2

mg
根據(jù)牛頓第二定律得：F_N-mg=m

v2

R

得 F_N=

2

mg+m

v2

R

=

2

mg+m

2gR(1+ 2 )

R

=mg(2+3

2

)
故小球第一次經(jīng)過(guò)adb過(guò)程中對(duì)管道的最大壓力是mg（2+3

2

）
答：（1）小球第一次經(jīng)過(guò)b點(diǎn)時(shí)的速度是2

gR

；
（2）小球第一次經(jīng)過(guò)c點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁的壓力大小為mg，方向豎直向下；
（3）小球第一次經(jīng)過(guò)adb過(guò)程中對(duì)管道的最大壓力是mg（2+3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要分析求出小球的運(yùn)動(dòng)，然后多次根據(jù)動(dòng)能定理、向心力公式和牛頓第二定律列式求解．