Question

如圖所示，真空中一平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，存在著兩個(gè)邊長為L的正方形勻強(qiáng)電場區(qū)域I、II和兩個(gè)直徑為L的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域III，IV．電場的場強(qiáng)大小均為E，區(qū)域I的 場強(qiáng)方向沿x軸正方向，其下邊界在x軸上，右邊界剛好與區(qū)域III的邊界相切；區(qū)域II的場 強(qiáng)方向沿y軸正方向，其上邊界在x軸上，左邊界剛好與區(qū)域僅的邊界相切．磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為2

2mE qL

，區(qū)域D1的圓心坐標(biāo)為（0，

L

2

）、磁場方向垂直于xOy平面向外；區(qū)域IV的圓心坐標(biāo)為（0，-

L

2

），磁場方向垂直于xOy平面向里．兩個(gè)質(zhì)量均為m、電荷量均 為q的帶正電粒子M、N，在外力約束下靜止在坐標(biāo)分別為（-

3L

2

，

1

2

L）、（-

3L

2

，

2+ 3

4

L）的兩點(diǎn)．在Y軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）放置一塊足夠長的感光板，板面垂直于xOy平面．將粒子M、N由靜止釋放，它們最終打在感光板上并立即被吸收．不 計(jì)粒子的重力．求：
（1）粒子離開電場I時(shí)的速度大�。�
（2）粒子M擊中感光板的位置坐標(biāo)．
（3）粒子N在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由動(dòng)能定理求解粒子離開電場I時(shí)的速度大小．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出軌跡半徑．因M運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與磁場區(qū)域的半徑相同，故M在磁場Ⅲ中運(yùn)動(dòng)四分之一周期后經(jīng)過原點(diǎn)進(jìn)入磁場Ⅳ，再運(yùn)動(dòng)四分之一周期后平行于x軸正方向離開磁場，然后進(jìn)入電場Ⅱ做類平拋運(yùn)動(dòng)．假設(shè)M射出電場后再打在x軸的感光板上，運(yùn)用類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解粒子M擊中感光板的位置坐標(biāo)．
（3）N做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與磁場區(qū)域的半徑相同，分析可得N將從b點(diǎn)進(jìn)入磁場，由坐標(biāo)原點(diǎn)O離開磁場Ⅲ進(jìn)入磁場Ⅳ，然后從d點(diǎn)離開磁場Ⅳ，畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求出軌跡對應(yīng)的圓心角，結(jié)合對稱性即可求得粒子N在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得：
   qEL=

1

2

m

v

2 0

解得 v₀=

2qEL m

．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
  qv₀B=m

v 2 0

r

因B=2

2mE qL

，
故得 r=

mv0

qB

=

L

2

因M運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與磁場區(qū)域的半徑相同，故M在磁場Ⅲ中運(yùn)動(dòng)四分之一周期后經(jīng)過原點(diǎn)進(jìn)入磁場Ⅳ，再運(yùn)動(dòng)四分之一周期后平行于x軸正方向離開磁場，然后進(jìn)入電場Ⅱ做類平拋運(yùn)動(dòng)．
   假設(shè)M射出電場后再打在x軸的感光板上，則：
M在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t=

L

v0

沿電場力位移 y=

1

2

at2=

1

2

×

qE

m

×(

L

v0

)2=

1

4

L＜

1

2

L；
所以假設(shè)成立，運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖所示．
沿電場方向的速度 v_y=at=

qEL 2m

速度偏向角的正切 tanθ=

vy

v0

=

1

2

設(shè)出電場后沿x軸方向的位移為x₁，則
   tanθ=

L 2 - L 4

x1

，
所以 x₁=

L

2

M擊中感光板的橫坐標(biāo)為 x=

L

2

+L+x₁=2L，位置坐標(biāo)為（2L，0）；
（3）N做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與磁場區(qū)域的半徑相同，分析可得N將從b點(diǎn)進(jìn)入磁場，由坐標(biāo)原點(diǎn)O離開磁場Ⅲ進(jìn)入磁場Ⅳ，然后從d點(diǎn)離開磁場Ⅳ，其部分軌跡如右圖所示．
在磁場Ⅲ中，由幾何關(guān)系得：cosθ=

3 4 L

L 2

=

3

2

所以 θ=30°，圓弧對應(yīng)的圓心角 φ=180°-30°=150°
粒子在運(yùn)動(dòng)的周期 T=

2π× L 2

v0

=π

mL 2qE

所以粒子在磁場Ⅲ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t′=

φ

360°

T=

5π

12

mL 2qE

由對稱關(guān)系得粒子在磁場Ⅲ、Ⅳ中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同
故粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t″=2t′=

5π

6

mL 2qE

；
答：
（1）粒子離開電場I時(shí)的速度大小是

2qEL m

．
（2）粒子M擊中感光板的位置坐標(biāo)是（2L，0）．
（3）粒子N在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

5π

6

mL 2qE

．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，靈活運(yùn)用幾何知識(shí)軌跡半徑，確定軌跡對應(yīng)的圓心角，即可求得粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．