Question

如圖所示．在同一豎直平面內(nèi)，一輕質(zhì)彈簧靜止放于光滑斜面上，其一端固定，另一端恰好與水平線AB平齊；長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，將細(xì)線拉至水平，此時(shí)小球在位置C．現(xiàn)由靜止釋放小球，小球到達(dá)最低點(diǎn)D時(shí)，細(xì)線恰好被拉斷，D點(diǎn)與AB相距h；之后小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰好與彈簧接觸并沿斜面方向壓縮彈簧，彈簧最大壓縮量為x．試求：
（1）斜面的傾角θ  
（2）彈簧所獲得的最大的彈性勢(shì)能E_P．

Answer 1

分析：（1）C到D過(guò)程，小球的機(jī)械能守恒，可求出小球到D點(diǎn)時(shí)的速度．細(xì)繩在D點(diǎn)被拉斷后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由題意，小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰好沿斜面方向?qū)�彈簧壓縮，速度沿斜面向下方向．由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求出小球到達(dá)D時(shí)豎直方向的分速度，由tanθ=

vy

vD

求出斜面的傾角．
（2）當(dāng)彈簧的壓縮量最大時(shí)彈簧所獲得的最大彈性勢(shì)能，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解．

解答：解：（ 1）小球從C到D，機(jī)械能守恒，則得：mgL=

1

2

?mv_D²
得v_D=

2gL

      
繩斷后，小球從D到A做平拋運(yùn)動(dòng)：h=

1

2

gt²，得t=

2h g

   
豎直分速度 v_y=

2gh

斜面的傾角θ有：tanθ=

vy

vD

=

h L

    所以θ=arctan

h L

（2）小球從C經(jīng)D，A到彈簧壓縮最大間，小球與彈簧的總機(jī)械能守恒，小球減少的重力勢(shì)能全轉(zhuǎn)化為彈簧所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_P=mg（L+h+xsinθ）   
其中sinθ=

h h+L

所以 E_P=mg（x

h h+L

+h+L）
答：
（1）斜面的傾角θ為arctan

h L

．
（2）彈簧所獲得的最大的彈性勢(shì)能E_P是mg（x

h h+L

+h+L）．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)、機(jī)械能守恒的綜合，情景簡(jiǎn)單，應(yīng)按程序進(jìn)行分析和求解．