Question

如圖甲所示，帶正電的粒子以水平速度v₀從平行金屬板MN間中線OO^′連續(xù)射入電場(chǎng)中，MN板間接有如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的電壓U_MN，電壓變化周期T=0.1s，兩板間電場(chǎng)可看做均勻的，且兩板外無(wú)電場(chǎng)．緊鄰金屬板右側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，分界線為CD，AB為熒光屏．金屬板間距為d，長(zhǎng)度為l，磁場(chǎng)B的寬度為d．已知：B=5×10^-3T，l=d=0.2mv₀=10⁵m/s，帶正電的粒子的比荷為

q

m

=10⁸C/kg，重力忽略不計(jì)．試求：

（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑；
（2）帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度；
（3）帶電粒子打在熒光屏AB上的范圍．

Answer 1

分析：（1）t=0時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子不被加速，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小，洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，水平方向?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)，豎直方向?yàn)槌跛俣葹榱愕膭蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；
帶電粒子從平行板邊緣射出時(shí)，電場(chǎng)力做功最多，獲得的動(dòng)能最大，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解；
（3）經(jīng)過(guò)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，粒子速度向上偏轉(zhuǎn)或向下偏轉(zhuǎn)，畫出可能的軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得到軌道半徑，通過(guò)幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）t=0時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子不被加速，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有qv₀B=m

v02

r

r_min=

mv0

qB

=

105

5×10-3×108

=0.2m
（2）因帶電粒子通過(guò)電場(chǎng)時(shí)間t=

l

v0

=2×10-6s＜T
所以帶電粒子通過(guò)電場(chǎng)過(guò)程中可認(rèn)為電場(chǎng)恒定不變．
設(shè)兩板間電壓為U₁時(shí)，帶電粒子能從N板右邊緣飛出，

d

2

=

1

2

×

U1q

dm

(

l

v0

)2
U1=

md2v02

ql2

=100V
在電壓低于或等于100V時(shí)，帶電粒子才能從兩板間射出電場(chǎng)，故U₁=100V時(shí)，
帶電粒子射出電場(chǎng)速度最大，q

U1

2

=

1

2

mvm2-

1

2

mv02
解得：vm=

v02+ qU1 m

=1.41×105m/s

（3）t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)中圓軌跡半徑最小，打在熒光屏上最高點(diǎn)E，
O′E=r_min=0.2m
從N板右邊緣射出粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)中圓軌跡半徑最大，
qvmB=m

vm2

rm

解得：rm=

mvm

qB

=

2

5

m
因vm=

2

v0，故tanθ=

vy

v0

=1，θ=45°，

O₂P=2×

2

d

2

=

2

d=0.2

2

m=r_max
所以從P點(diǎn)射出粒子軌跡圓心O₂正好在
熒光屏上且O₂與M板在同一水平線上，0′O₂=

d

2

=0.1m，
O′F=rm-O2O′=

2

5

-0.1=0.18m
帶電粒子打在熒光屏AB上范圍為：
EF=O′E+O′F=0.38m
答：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑為0.2m；
（2）帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度為1.41×10⁵m/s；
（3）帶電粒子打在熒光屏AB上的范圍為0.38m．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是畫出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的各種可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式后得出半徑，然后求出磁偏轉(zhuǎn)的距離表達(dá)式，并得出回旋角度的范圍，從而得到磁偏轉(zhuǎn)的范圍．