Question

如圖所示的滑輪，它可以繞垂直于紙面的光滑固定水平軸O轉動，輪上繞有輕質柔軟細線，線的一端系一質量為3m的重物，另一端系一質量為m，電阻為r的金屬桿．在豎直平面內有間距為L的足夠長的平行金屬導軌PQ、EF，在QF之間連接有阻值為R的電阻，其余電阻不計，磁感應強度為Bo的勻強磁場與導軌平面垂直，開始時金屬桿置于導軌下端QF處，將重物由靜止釋放，當重物下降h時恰好達到穩(wěn)定速度而勻速下降．運動過程中金屬桿始終與導軌垂直且接觸良好，忽略所有摩擦，求：
（1）重物勻速下降的速度v；
（2）重物從釋放到下降h對的過程中，電阻R中產生的焦耳熱Q_R；
（3）若將重物下降h時的時刻記作t=0，從此時刻起，磁感應強度逐漸減小，若此后金屬桿中恰好不產生感應電流，則磁感應強度B怎樣隨時間t變化（寫出B與t的關系式）．

Answer 1

分析：（1）重物勻速下降時，金屬桿勻速上升，受力平衡．推導出安培力，由平衡條件列式求出速度v．
（2）重物從釋放到下降h的過程中，重物的重力勢能減小轉化為桿的重力勢能和動能、重物的動能及整個回路的內能，根據能量守恒求出整個回路產生的焦耳熱，根據串聯(lián)電路電流關系，求出電阻R中產生的焦耳熱Q_R；
（3）當回路中總磁通量不變時，金屬棒中不產生感應電流，此時棒將導軌做勻加速運動．根據磁通量不變，列式求B與t的關系式．

解答：解：（1）重物勻速下降時，金屬桿勻速上升，受力平衡．
此時回路中產生的感應電動勢為 E=B₀Lv，
則棒所受的安培力 F_安=B₀IL=B₀L

B0Lv

R+r

=

B 2 0 L2v

R+r

對整體有：3mg=mg+F_安，
聯(lián)立解得 v=

2mg(R+r)

B 2 0 L2

（2）重物從釋放到下降h的過程中，由能量守恒得
 3mgh=mgh+

1

2

(m+3m)v2+Q_總
電阻R中產生的焦耳熱Q_R=

R

R+r

Q總
由以上式子解得，Q_R=

R

R+r

[2mgh-

8m3g2(R+r)2

B 4 0 L4

]
（3）當回路中總磁通量不變時，金屬棒中不產生感應電流，此時金屬棒將導軌做勻加速運動．
則有
  3mg-mg=（3m+m）a
B₀Lh=BL（h+vt+

1

2

at2）
解得 B=

4 B 3 0 L2h

4 B 2 0 L2h+8mg(R+r)t+ B 2 0 L2gt2

答：
（1）重物勻速下降的速度v是

2mg(R+r)

B 2 0 L2

；
（2）重物從釋放到下降h對的過程中，電阻R中產生的焦耳熱Q_R是

R

R+r

[2mgh-

8m3g2(R+r)2

B 4 0 L4

]．
（3）金屬桿中恰好不產生感應電流時，磁感應強度B隨時間t變化的關系式是 B=

4 B 3 0 L2h

4 B 2 0 L2h+8mg(R+r)t+ B 2 0 L2gt2

．

點評：本題分別從力和能量兩個角度研究電磁感應現(xiàn)象，關鍵是計算安培力和分析能量如何變化，以及把握沒有感應電流產生的條件．