Question

如圖，△OAC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0）、A（0，L）、C（

3

L，0），在△OAC區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在t=0時(shí)刻，同時(shí)從三角形的OA邊各處以沿y軸正向的相同速度將質(zhì)量均為m，電荷量均為q的帶正電粒子射入磁場(chǎng)，已知在t=t₀時(shí)刻從OC邊射出磁場(chǎng)的粒子的速度方向垂直于y軸．不計(jì)粒子重力和空氣阻力及粒子間相互作用．
（1）求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）若從OA邊兩個(gè)不同位置射入磁場(chǎng)的粒子，先后從OC邊上的同一點(diǎn)P（P點(diǎn)圖中未標(biāo)出）射出磁場(chǎng)，求這兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁與t₂之間應(yīng)滿足的關(guān)系；
（3）從OC邊上的同一點(diǎn)P射出磁場(chǎng)的這兩個(gè)粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的時(shí)間間隔與P點(diǎn)位置有關(guān)，若該時(shí)間間隔最大值為

4t0

3

，求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直O(jiān)A進(jìn)入磁場(chǎng)中，轉(zhuǎn)過(guò)90°，垂直打在y軸上，則t=t₀=

1

4

T，求出周期，由周期公式T=

2πm

qB

求B的大小．
（2）畫(huà)出兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，設(shè)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為θ₁和θ₂，由幾何關(guān)系有θ₁=180°-θ₂，可得到時(shí)間之和等于

T

2

．
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)知道，兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差△t與△θ=θ₂-θ₁成正比，只要求出△θ的最大值，即可求得θ₂的最大值．由△t=

△θ

360°

T和已知條件△t_max=

4t0

3

，聯(lián)立可求出θ₂的最大值，再結(jié)合幾何知識(shí)求出軌跡的半徑，由牛頓第二定律，利用洛倫茲力等于向心力，列式求解速度．

解答：解：（1）粒子在t₀時(shí)間內(nèi)，速度方向改變了90°，t=t₀=

1

4

T，故周期T=4t₀
由T=

2πm

qB

…①
得B=

πm

2qt0

…②
（2）在同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)的兩粒子軌跡如圖，軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為θ₁和θ₂，由幾何關(guān)系有：
θ₁=180°-θ₂…③
故t₁+t₂=

T

2

=2t₀…④
（3）由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知，兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差△t與△θ=θ₂-θ₁成正比，由②得：
△θ=θ₂-θ₁=2θ₂-180°…⑤
根據(jù)⑤式可知θ₂越大，△θ₂越大，時(shí)間差△t越大
由△t=

△θ

360°

T…⑥
由題時(shí)間間隔最大值為△t_max=

4t0

3

…⑦
又T=4t₀ …⑧
則⑤⑥⑦⑧得，θ₂的最大值為θ_max=150°…⑨
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子軌跡如圖，由幾何關(guān)系α=180°-θ=30°…⑩
由幾何知識(shí)得 tan∠A=

3 L

L

=

3

  得∠A=60°…（11）
β=90°-∠A=30°…（12）
且有 Rcosα+

R

cosβ

=L   
解得：R=

2 3 L

7

根據(jù)qvB=m

v2

R

  （或v=

π 2 R

t0

或v=

5π 6 R

5 3 t0

均可）   
代入數(shù)據(jù)解得：v=

3 πL

7t0

答：
（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是

πm

2qt0

；
（2）這兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁與t₂之間應(yīng)滿足的關(guān)系是t₁+t₂=

T

2

=2t₀；
（3）從OC邊上的同一點(diǎn)P射出磁場(chǎng)的這兩個(gè)粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的時(shí)間間隔與P點(diǎn)位置有關(guān)，若該時(shí)間間隔最大值為

4t0

3

，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小是

3 πL

7t0

．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，要善于運(yùn)用幾何知識(shí)幫助分析和求解，這是軌跡問(wèn)題的解題關(guān)鍵．