Question

(1)如圖甲，在光滑水平長直軌道上，放著一個(gè)靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各連接一個(gè)小球構(gòu)成，兩小球質(zhì)量相等．現(xiàn)突然給左端小球一個(gè)向右的速度u₀，求彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時(shí)，每個(gè)小球的速度．

(2)如圖乙，將N個(gè)這樣的振子放在該軌道上．最左邊的振子1被壓縮至彈簧為某一長度后鎖定，靜止在適當(dāng)位置上，這時(shí)它的彈性勢(shì)能為E₀．其余各振子間都有一定的距離．現(xiàn)解除對(duì)振子1的鎖定，任其自由運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它第一次恢復(fù)到自然長度時(shí)，剛好與振子2碰撞，此后，繼續(xù)發(fā)生一系列碰撞，每個(gè)振子被碰后剛好都是在彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時(shí)與下一個(gè)振子相碰．求所有可能的碰撞都發(fā)生后，每個(gè)振子彈性勢(shì)能的最大值．已知本題中兩球發(fā)生碰撞時(shí)，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度．

Answer 1

答案：
解析：

設(shè)計(jì)意圖：本題考查了系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒，同時(shí)也考查了學(xué)生的分析綜合能力，此題的難度較大． 解析：(1)設(shè)每個(gè)小球質(zhì)量為m，以u1、u2分別表示彈簧恢復(fù)到自然長度時(shí)左右兩端小球的速度．由動(dòng)量守恒和能量守恒定律有 mu1＋mu2＝mu0(以向右為速度正方向) mu12＋mu22＝mu02 解得 u1＝u0，u2＝0或u1＝0，u2＝u0 由于振子從初始狀態(tài)到彈簧恢復(fù)到自然長度的過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球持續(xù)減速，使右端小球持續(xù)加速，因此應(yīng)該取解： u1＝0，u2＝u0 (2)以v1、v1′分別表示振子1解除鎖定后彈簧恢復(fù)到自然長度時(shí)左右兩小球的速度，規(guī)定向右為速度的正方向，由動(dòng)量守恒和能量守恒定律． mv1＋mv1′＝0 mv12＋m1v1′2＝E0 解得 v1＝，v1′＝或v1＝，v1′＝ 在這一過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應(yīng)取解： v1＝，v1′＝ 振子1與振子2碰撞后，由于交換速度，振子1右端小球速度變?yōu)?，左端小球速度仍為v1，此后兩小球都向左運(yùn)動(dòng)．當(dāng)它們向左的速度相同時(shí)，彈簧被拉伸至最長，彈性勢(shì)能最大．設(shè)此速度為v10，根據(jù)動(dòng)量守恒定律， 2mv10＝mv1 用E1表示最大彈性勢(shì)能，由能量守恒有 mv102＋mv102＋E1＝mv12 解得E1＝E0 振子2被碰撞后瞬間，左端小球速度為，右端小球速度為0．以后彈簧被壓縮，當(dāng)彈簧再恢復(fù)到自然長度時(shí)，根據(jù)(1)題結(jié)果，左端小球速度v2＝0，右端小球速度v2′＝，與振子3碰撞，由于交換速度，振子2右端小球速度變?yōu)?，振子2靜止，彈簧為自然長度，彈性勢(shì)能為E2＝0． 同樣分析可得E2＝E3＝…＝EN-1＝0 振子N被碰撞后瞬間，左端小球速度vN-1′＝，右端小球速度為0，彈簧處于自然長度．此后兩小球都向右運(yùn)動(dòng)，彈簧被壓縮，當(dāng)它們向右的速度相同時(shí)，彈簧被壓縮至最短，彈性勢(shì)能最大．設(shè)此時(shí)速度為，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有 2m＝mvN-1′ 用EN表示最大彈性勢(shì)能，根據(jù)能量守恒，有 m2＋m2＋EN＝mvN-12 解得EN＝E0 易錯(cuò)點(diǎn)：本題難度較大，許多學(xué)生由于分析物理過程出錯(cuò)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤而失分． 答案：(1)u1＝0，u2＝u0 (2)EN＝E0