Question

為了迎接2008年北京奧運(yùn)會(huì)的召開，我市某校的物理興趣小組設(shè)計(jì)了如圖所示的玩具軌道，其中“2008”四個(gè)等高數(shù)字是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓玻璃管彎成，固定在豎直平面內(nèi)（所有數(shù)字均由圓形和直圓管組成，P點(diǎn)與M、N點(diǎn)等高，圓半徑比細(xì)管的內(nèi)徑大得多），底端與水平地面相切．右端的彈射裝置將一個(gè)小球（小球的直徑略小于玻璃管的內(nèi)徑，且可以視為質(zhì)點(diǎn)），以v_a=5m/s的水平初速度由a點(diǎn)彈出，從b點(diǎn)進(jìn)入玻璃軌道，依次經(jīng)過“8002”后從p點(diǎn)水平拋出．設(shè)小球與地面ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)u=0.3，不計(jì)其它機(jī)械能損失．已知ab段長(zhǎng)x=1.5m，數(shù)字“0”的半徑R=0.2m，小球的質(zhì)量m=0.01kg，取g=10m/s²．試求：

（1）小球運(yùn)動(dòng)到數(shù)字“8”的最高點(diǎn)N處和數(shù)字“0”的最高點(diǎn)M處的角速度之比．
（2）小球到達(dá)數(shù)字“8”的最高點(diǎn)N時(shí)管道對(duì)小球作用力的大小和方向．
（3）小球從p點(diǎn)拋出后落到地面時(shí)的速度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律知小球在數(shù)字“8”的最高點(diǎn)N處和數(shù)字“0”的最高點(diǎn)M處速度大小相等，根據(jù)v=rω得出角速度之比．
（2）對(duì)小球由位置a經(jīng)b運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程，應(yīng)用動(dòng)能定理求出N點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)球的彈力大小和方向．
（3）P點(diǎn)的速度與N點(diǎn)的速度相等，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球落地的速度大小和方向．

解答：解：（1）由機(jī)械能守恒定律知，小球在M和N兩點(diǎn)的速度相同，由公式v=ωr得兩點(diǎn)的角速度之比為

ωN

ωM

=

RM

RN

=

2

1

（2）小球由位置a經(jīng)b運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程，應(yīng)用動(dòng)能定理得：μmgx+mg×2R=

1

2

m

v

2 a

-

1

2

m

v

2 N

v 2 N = v 2 a -4gR-2μgx =52-4×10×0.2-2×0.3×10×1.5 =8

設(shè)小球在N點(diǎn)軌道給它的壓力為F_N，由牛頓第二定律得FN+mg=m

v 2 N

R/2

FN=2m

v 2 N

R

-mg=2×0.01×

8

0.2

-0.01×10=0.7(N)
方向豎直向下                                                    
（3）由機(jī)械能守恒定律知，小球過P點(diǎn)以速度vP=vN=

8

m/s做平拋運(yùn)動(dòng)，則有    
2R=

1

2

gt2t=

4R g

=

4×0.2 10

=

2

5

(s)
vy=gt=10×

2

5

=2

2

(m/s)
小球的落地速度為v=

v 2 x + v 2 y

=

8+8

=4(m/s)
設(shè)落地速度與水平方向的夾角為θ，則有tanθ=

vy

vp

=

8

8

=1
θ=45°
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到數(shù)字“8”的最高點(diǎn)N處和數(shù)字“0”的最高點(diǎn)M處的角速度之比為

2

1

．
（2）小球到達(dá)數(shù)字“8”的最高點(diǎn)N時(shí)管道對(duì)小球作用力的大小為0.7N，方向豎直向下．
（3）小球從p點(diǎn)拋出后落到地面時(shí)的速度為4m/s，與 水平方向的夾角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律，涉及到直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵理清運(yùn)動(dòng)過程，選擇適當(dāng)?shù)难芯窟^程，運(yùn)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律解題．