Question

使用“彈簧式角速度測量儀”可以測量運(yùn)動(dòng)裝置自轉(zhuǎn)時(shí)角速度的大小，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖所示．將測量儀固定在待測裝置上，當(dāng)裝置繞豎直固定軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與輕彈簧相連的小球A可在光滑絕緣細(xì)桿BC上滑動(dòng)，同時(shí)帶動(dòng)連接在A上的滑動(dòng)變阻器的動(dòng)觸片P在與BC平行的電阻絲MN上滑動(dòng)，使得電壓表V的示數(shù)U₀隨裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω發(fā)生變化，據(jù)此可測出待測裝置的角速度ω的大小．
已知：小球A的質(zhì)量為m；彈簧的原長為x₀、勁度系數(shù)為k；電阻MN粗細(xì)均勻、長度為L、阻值為R；電壓表V通過兩根導(dǎo)線分別接在電阻絲MN的中點(diǎn)Q和動(dòng)觸片P上，電阻絲MN的兩端接在電壓為U的直流穩(wěn)壓電源上．閉合開關(guān)后S測量儀器即可工作．若不計(jì)導(dǎo)線和動(dòng)觸片P的電阻、以及導(dǎo)線對動(dòng)觸片P的影響，忽略動(dòng)觸片P和電阻MN之間的摩擦，且電壓表視為理想電表．裝置靜止時(shí)，動(dòng)觸片P與Q（導(dǎo)線和電阻的連接點(diǎn)）重合．
（1）試推導(dǎo)：待測裝置自轉(zhuǎn)的角速度ω與電壓表V的示數(shù)U₀之間的關(guān)系式．
（2）用該測量儀能測量的自轉(zhuǎn)角速度的最大值ω_m是多少？

Answer 1

（1）設(shè)待測裝置自轉(zhuǎn)的角速度為ω時(shí)，彈簧伸長量為x，電壓表V的示數(shù)為U₀，小球A做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 r=x₀+x，彈簧彈力為F．
根據(jù)牛頓第二定律，有　　　F=mω²r               ①
由胡克定律　　　　　　　　F=kx                 ②
電壓表V的示數(shù)（即P、Q間的電壓）為U₀，設(shè)P、Q間的電阻值為R_x，有

U0

U

=

Rx

R

=

x

L

     ③
①、②、③式聯(lián)立，得ω=

k m(1+ x0U LU0 )

             ④
（2）用該測量儀測量某裝置自轉(zhuǎn)的角速度為最大值ω_m時(shí)，有：
x=

1

2

L                                        ⑤
U0=

1

2

U                                      ⑥
代入④式，得  ωm=

k m(1+ 2x0 L )

答：（1）待測裝置自轉(zhuǎn)的角速度ω與電壓表V的示數(shù)U₀之間的關(guān)系式為

k m(1+ x0U LU0 )

．
（2）用該測量儀能測量的自轉(zhuǎn)角速度的最大值ω_m是

k m(1+ 2x0 L )

．