Question

如圖所示，左圖是游樂場中過山車的實(shí)物圖片，右圖是過山車的原理圖．在原理圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個光滑圓形軌道，固定在傾角為α=37°斜軌道面上的Q、Z兩點(diǎn)，且兩圓形軌道的最高點(diǎn)A、B均與P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現(xiàn)使小車（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動．已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數(shù)為μ=．問：（已知：g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan（）=．結(jié)果可保留根號．）

（1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為多大？
（2）若小車在P點(diǎn)的初速度為10m/s，則小車能否安全通過兩個圓形軌道？

Answer 1

【答案】分析：（1）小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點(diǎn)A處時，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)過A點(diǎn)的速度．由幾何知識求出P、Q間的距離S_PQ，運(yùn)用動能定理研究小球從P到A的過程，求解P點(diǎn)的初速度．
（2）首先根據(jù)小車在P點(diǎn)的初速度10m/s，與第一問中v比較，分析小車能否安全通過圓弧軌道O₁．若小車恰能通過B點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程，求出小車通過B點(diǎn)的臨界速度，根據(jù)動能定理求出小車在P點(diǎn)的臨界速度，再確定小車能否安全通過兩個圓形軌道．
解答：解：（1）小車恰好過A點(diǎn)，由牛頓第二定律有
     mg=m
小球P到A的過程中，由動能定理有
-μmgcosα?S_PQ=-
由幾何關(guān)系可得  S_PQ=
代入數(shù)據(jù)可得 v=2              
（2）小車以v=10m/s的初速度從P點(diǎn)下滑時，因?yàn)橛衯=10m/s＞v=2
所以小車可以通過圓弧軌道O₁，設(shè)小車恰好能通過B點(diǎn)，
由牛頓第二定律有 mg=m                            
則P到B由動能定理得 
-μmgcosα?S_PZ=-          
其中  S_PZ=                                    
代入數(shù)據(jù)可得   v_P=m/s                                 
因?yàn)関_P=m/s＜10m/s，所以小車能安全通過兩個圓形軌道．
答：
（1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為2；
（2）若小車在P點(diǎn)的初速度為10m/s，小車能安全通過兩個圓形軌道．
點(diǎn)評：對于物體在豎直平面內(nèi)光滑圓軌道最高點(diǎn)的臨界速度v=，要在理解的基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶，圓周運(yùn)動往往與動能定理、機(jī)械能守恒等進(jìn)行綜合．本題難點(diǎn)在于運(yùn)用幾何知識求距離．中等難度．