Question

如圖甲所示，在光滑絕緣的水平面上固定著兩對(duì)幾何形狀完全相同的平行金屬板PQ和MN， P、Q與M、N四塊金屬板相互平行地豎直地放置，其俯視圖如圖乙所示．已知P、Q之間以及M、N之間的距離都是d=0.2m，極板本身的厚度不計(jì)，極板長(zhǎng)均為L(zhǎng)=0.2m，板間電壓都是．金屬板右側(cè)為豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度，磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．今有一質(zhì)量為，電量為的帶負(fù)電小球在水平面上如圖從PQ平行板間左側(cè)中點(diǎn)O沿極板中軸線以初速度=4m/s進(jìn)入平行金屬板PQ．

（1）試求小球剛穿出平行金屬板PQ進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間的速度；

（2）若要小球穿出平行金屬板PQ后，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)射入平行金屬板MN中，且在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側(cè)中點(diǎn)O′沿中軸線射出．則金屬板Q、M間距離最大是多少？

Answer 1

（1）5m/s（2）0.75m

解析:

（1）小球在PQ金屬板中做類平拋運(yùn)動(dòng)：

      小球所受電場(chǎng)力（1分），而小球加速度 （1分）

      故 （2分）

      小球在板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間  （1分）

小球在垂直板方向上的速度      （1分）

 則小球離開(kāi)PQ板時(shí)的速度為 （1分）

 與中軸線的夾角為                  （1分）

（2）在PQ極板間，若P板電勢(shì)比Q板高，則小球向P板偏離，進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，則必須N板電勢(shì)高于M板電勢(shì)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖a所示（1分）；同理若Q板電勢(shì)比P板高，則必須M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖b所示（1分）。否則不可能在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側(cè)中點(diǎn)O′沿中軸線射出。

小球進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)半徑為R，因洛侖茲力提供向心力，即：

         （1分）

  所以   （1分）

在PQ極板間，若小球向P板偏，設(shè)小球射入與射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)間的距離為h_a；在PQ極板間，若小球向Q板偏，設(shè)小球射入與射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)間的距離為h_b。由圖中幾何關(guān)系（注：圖中半徑不同，為簡(jiǎn)便，兩圖合一）可算得：

  （1分）

小球偏離中軸線的位移

（1分）

當(dāng)小球向P板偏時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可得QM板間的距離為

  （1分）

當(dāng)小球向Q板偏時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可得QM板間的距離為

  （1分）

顯然          （1分）

代入數(shù)據(jù)得  （1分）

因而金屬板Q、M間距離最大為0.75m。