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 用尺規(guī)平分角

陳鴻儒

    初中幾何課本人教版第二冊58頁的《平分已知角》的教學(xué)，是最基本的作圖方法，其實(shí)，課本中很多章節(jié)的教學(xué)都暗示著平分已知角尺規(guī)作圖的知識與方法，若稍加注意就可挖掘一二。

    已知：。

    作法1  （《幾何》第二冊58頁作法）

    1. 如圖1，在OA、OB上分別截取OD、OE，使OD=OE。

    2. 分別以D、E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在AOB內(nèi)交于點(diǎn)C。

    3. 作射線OC，OC就是AOB的平分線。

    證明  連結(jié)EC、DC

    因?yàn)镺D=OE，DC=EC，OC=OC

    所以

    所以COA=COB

    作法2  （課本第55頁第3題）

    如圖2，在AOB的兩邊OA、OB上分別取OM=ON，分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫出射線OP。

    證明  OP平分AOB

    分析  該題的已知是尺規(guī)作圖的另一種方法，可引導(dǎo)學(xué)生按照題意寫出已知、求作、作法與證明。

    作圖步驟：

    1. 在AOB的兩邊OA、OB上分別截取OM、ON，使OM=ON。

    2. 分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P。

    3. 作射線OP，OP就是AOB的平分線。

    證明  因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/用尺規(guī)平分角%20專題指導(dǎo).files/image014.gif" >，OM=ON，OP=OP

    所以

    所以POM=POB

    注  該作法加深了同學(xué)們對該節(jié)學(xué)習(xí)角平分線性質(zhì)的理解，通過證明又聯(lián)系到兩直角三角形全等的“HL”判定理。

    該題是要求用直角三角形做出，我們學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖，應(yīng)該按照基本作圖方法，過一點(diǎn)作已知直線的垂線方法來作。

    作法3（課本第二冊116頁B組習(xí)題1）

    如圖3，在AOB的兩邊OA、OB上分別取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交點(diǎn)C，求證OC平分AOB。

    分析  該題的已知暗示了尺規(guī)作圖平分已知角的又一種方法。

    作圖步驟：

    1. 如圖3，在AOB兩邊OA、OB上分別截取OQ=OP，OT=OS。

    2. 連結(jié)PT、QS相交于點(diǎn)C。

    3. 作射線OC，OC就是AOB的平分線。

    證明  由作法，知OQ=OP，OT=OS

    所以

    即PSC=QTC

    又PCS=QCT，PS=QT

    所以

    又OT=OS，OC=OC

    所以

    注  該作角平分線的方法，較容易掌握，切實(shí)可行，該作圖證明，用到了三角形全等的SAS、AAS、SSS等定理，須引導(dǎo)學(xué)生善于找出對應(yīng)的三角形關(guān)系。

    作法4 

    1. 如圖4，在AOB的邊OA、OB上分別截取OD、OE，使OD=OE。

    2. 連結(jié)DE。

    3. 取DE的中點(diǎn)C。

    4. 作射線OC，OC就是AOB的平分線。

    證明  因?yàn)镺D=OE，C是DE的中點(diǎn)，所以O(shè)C是等腰底邊DE的中線，也是高線，也是頂角AOB的平分線。

    注  在學(xué)習(xí)等腰三角形性質(zhì)時，可插入該作圖方法，使學(xué)生加深對等腰三角形底邊上的中線，高線，頂角平分線，三線合一的理解。該作圖取線段DE的中點(diǎn)C應(yīng)運(yùn)用線段垂直平分線的基本作法來解決，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，提高基本作圖技能。

    作法5 

    1. 如圖5，過邊OB上任意一點(diǎn)D作OA邊的平行線DE。

    2. 在DE上取DC=DO。

    3. 作射線OC，OC就是AOB的平分線。

    分析  該作圖聯(lián)系了兩直線平行內(nèi)錯角相等和等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)。

    證明  由作法，知DC//OA

    所以DCO=AOC

    又DC=DO

    所以DCO=DOC，AOC=DOC

   以上幾種角平分線的尺規(guī)作圖方法，都是由幾何證明題改編而成的，可激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)幾何的興趣，開拓思路，增進(jìn)知識的橫縱聯(lián)系，鞏固基礎(chǔ)，培養(yǎng)動腦動手能力。