江西省白鷺洲中學08-09學年高二下學期第一次月考
數 學 試 卷
命題人：王洪平 審題人：郭仕華
一、選擇題（60分）
1.如圖7-20，點P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是（ ）
2. 下列等式中，使點M與點A、B、C一定共面的是( )
A. 
B.
C.
D. 
3..a、b是異面直線，以下面四個命題，正確命題的個數是（ ）
①過a有且只有有一個平面平行于b ②過a至少有一個平面垂直于b
③至多有一條直線與a、b都垂直 ④至少有一個平面分別與a、b都平行
A.0 B
4.已知a=(3，－2，－3)，b=（－1，x－1，1），且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是（ ）
A．（－2，+∞） B．（－2，
）∪（，+∞）
C．（－∞，-2） D．（，+∞）
5.對于已知直線a，如果直線b同時滿足下列三個條件：（1）與a是異面直線；（2）與a所成的角為定值θ；（3）與a的距離為定值d。那么，這樣的直線b有（ ）
A.1條 B.2條 C.3條 D.無數條
6. 如圖7-22，點P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥平面ABCD，
PD=AD，則PA與BD所成角的度數為（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
7.如圖7-23， P 是正方形ABCD外一點，PD垂直于ABCD，則這個五
面體的五個面中，互相垂直的平面共有（ ）
A.3對 B.4對 C.5對 D.6對
8.過正方形ABCD的頂點A作線段A′A⊥平面ABCD。若A′A=AB，則平面A′AB與平面A′CD所成角的度數是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.設有不同的直線a、b和不同的平面α、β、γ，給出下列三個命題：
①若a∥α,b∥α,則a∥b。 ②若a∥α,a∥β，則α∥β。 ③若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β。
其中正確的個數是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
10.△ABC的三個頂點分別是
，
，
，則AC邊上的高BD長為（
）
A. 
B. 5
C.4
D.
11.已知相交直線l、m都在平面α內，并且都不在平面β內，若命題p：l、m中至少有一條與β相交；命題q: α與β相交，則p是q的（ ）
A. 不充分也不必要條件 B充分而不必要條件
C.必要而不充分條件 D. 充分必要條件
12..已知二面角α-l-
為直二面角，A是α內一定點，過A作直線AB交于B，若直線AB與二面角α-l-的兩個半平面
所成的角分別為30°和60°，則這樣的直線最多有（ ）
A．1條 B。2條 C。3條 D。4條
二、填空題（16分）
13.將正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角后，異面直線AB與CD所成角的大小是 。
14.在平面α內有一個正三角形ABC，以BC邊為軸把△ABC旋轉θ角，θ∈（0，
），得到△A′BC，當θ= 時，△A′BC在平面α內的射影是直角三角形。
1５．如圖，一個立方體的六個面上分別標有字母A、B、C、
D、E、F，右圖是此立方體的兩種不同放置，
則與D面相對的面上的字母是 。
16.如圖7-25，P是四邊形ABCD所在平面外一點，O是AC與BD的交點，且PO⊥平面ABCD。當四邊形ABCD滿足下列條件 時，點P到四邊形四條邊的距離相等。①正方形；②圓的外切四邊形；③菱形；④矩形。
白鷺洲中學高二下學期第一次月考數學答題卷
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
選項
二、填空題（4分
4=16分）
13___________． 14．____________；15.____________; 16_______________．
三、解答題（共74分）
17. （12分）已知E，F分別是正方形ABCD邊AD，AB的中點，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．
（1）求證：EF⊥平面GMC．
（2）若AB＝4，GC＝2，求點B到平面EFG的距離
18. （12分）在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P為四邊形ABCD外一點，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．
（1）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；
（2）求證CE∥平面PAB．
19.（12分）如圖，在五面體P―ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2， PB=
，PD=
。
（1）求證：BD⊥平面PAD；
（2）若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角P―BC―A的大小。
20．（12分）如圖7-31，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a,E是CD邊的中點，以AE為棱，將△DAE向上折起，將D變到D′的位置，使面D′AE與面ABCE成直二面角（圖7-32）。
（1）求直線D′B與平面ABCE所成的角的正切值；
（2）求證：AD′⊥BE； （3）求點C到平面AE D′的距離。
、
21．（12分）如圖7-13，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分別是AB，PC的中點。
（1）求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大小；
（2）求證：MN⊥平面PCD；
（3）當AB的長度變化時，求異面直線PC與AD所成角的可能范圍。
22.（14分）如圖，已知P為菱形
外一點，
平面，
，
分別是
的中點．
（1）證明：
；
（2）若
為
上的動點，
與平面
所成最大角的正切值為
，求二面角
的余弦值．
1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.A 10.B 11.D 12.A
13. 
14.arccos
15.B 16.①②③
17.解：解：（1）連結BD交AC于O，
∵E，F是正方形ABCD邊AD，AB的中點，AC⊥BD，
∴EF⊥AC．
∵AC∩GC＝C，………6分
∴EF⊥平面GMC．
（2）可證BD∥平面EFG，，正方形中心O到平面EFG
………12分
18． 解：（1）∵PA＝CA，F為PC的中點，
∴AF⊥PC．
………………2分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E為PD中點，F為PC中點，∴EF∥CD．則EF⊥PC． ……5分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 6分
（2）證法一：
取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．
∵EM 
平面PAB，PA
平面PAB，∴EM∥平面PAB． ………8分
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，
∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB． …… 10分
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．…… 12分
證法二：
延長DC、AB，設它們交于點N，連PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C為ND的中點． ……8分
∵E為PD中點，∴EC∥PN．……10分
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，∴EC∥平面PAB． ……… 12分
19.解 （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
得BD2=AD2+AB2-2AD?ABcos60°
=4+16-2×2×4×
=12。∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，即AD⊥BD�！�3分
在△PDB中，PD=
，PB=
，BD=
，
∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD。
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD�！�6分
（2）∵BD⊥平面PAD，BD
平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD�！�8分
作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PDE是PD與底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，
∴PE=PDsin60°=?
=
。………10分
作EF⊥BC于F，連PF，則PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P―BC―A的平面角。
又EF=BD=，∴在Rt△PEF中，
tan∠PFE=
=
=
。
故二面角P―BC―A的大小為arctan。………12分
20.解 （1）∵D′―AE―B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE。
作D′O⊥AE于O，連 OB，
∴D′O⊥平面ABCE。
∴∠D′BO是直線D′B與平面ABCE所成的角。
∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°
∴O是AE的中點，
AO=OE=D′O=
a, ∠D′AE=∠BAO=45°。………2分
∴在△OAB中，OB=
=
=
a。
∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO=
=
�！�4分
（2）連結BE∵∠AED=∠BEC=45°，∴∠BEA=90°，即BE⊥AE于E。
∵D′O⊥平面ABCE，∴D′O⊥BE，………6分
∴BE⊥平面AD′E，∴BE⊥AD′。………8分
(3)C點到平面AE D′的距離是B到平面AE D′的一半即BE=a………12分
21．解 （1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD。
故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°�！�3分
（2）如圖7-14，取PD中點E，連結AE，EN，又M，N分別是AB，PC的中點，
∴EN∥CD∥AB
∴AMNE是平行四邊形 ∴MN∥AE。
在等腰Rt△PAD中，AE是斜邊的中線。 ∴AE⊥PD。
又CD⊥AD，CD⊥PD ∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AE，
又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD。 ∴MN⊥平面PCD�！�7分
（3）∵AD∥BC，∴∠PCB為異面直線PC，AD所成的角。
由三垂線定理知PB⊥BC，設AB=x(x>0)�！鄑an∠PCB=
=
。
又∵
∈（0，∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）。
又∠PCB為銳角，∴∠PCB∈（
，
），
即異面直線PC，AD所成的角的范圍為（，）�！�12分
22.（1）證明：由四邊形
為菱形，
，可得
為正三角形．
因為
為
的中點，所以
．
又
，因此
．
因為
平面，
平面，所以
．
而
平面
，
平面且
，
所以
平面．又
平面，
所以
．………6分
（2）解：設
，
為
上任意一點，連接
．
由（1）知平面，
則
為
與平面所成的角．
在
中，
，
所以當
最短時，最大，
即當
時，最大．
此時
，
因此
．又
，所以
，
所以
．因為平面，平面
，
所以平面
平面．
過作
于
，則
平面，
過作
于
，連接
，則
為二面角
的平面角，
在
中，
，
，
又
是
的中點，在
中，
，
又
，在
中，
，
即所求二面角的余弦值為
．………14分
本題也可以用向量法解：以
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。
 |
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