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    第四節(jié) 直角三角形
     
    【回顧與思考】 
        直角三角形
     
    【例題經(jīng)典】
     
    直角三角形兩銳角互余
    例1．如圖，有兩個長度相同的滑梯（即BC=EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則∠ABC+∠DFE=______．
        【分析】∠ABC與∠DFE分布在兩個直角三角形中，若說明這兩個直角三角形全等則問題便會迎刃而解．
    【解答】在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，
    ∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，
    ∴∠ABC+∠DFE=90°，因此填90°．
        【點(diǎn)評】此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個直角三角形全等，并運(yùn)用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題．
     
    特殊直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用
    例2．（2006年包頭市）《中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時”．一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”，測得該車從北偏西60°的A點(diǎn)行駛到北偏西30°的B點(diǎn)，所用時間為1．5秒．
      （1）試求該車從A點(diǎn)到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速．
    【解析】（1）要求該車從A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度．只需求出AB的距離，
    在△OAC中，OC=25米．∵∠OAC=90°-60°=30°，∴OA=2CO=50米
        由勾股定理得CA==25（米）
        在△OBC中,∠BOC=30°
        ∴BC=OB.
        ∴（2BC）2=BC2+252
        ∴BC=（米）
        ∴AB=AC-BC=25-=（米）
        ∴從A到B的速度為÷1.5=（米/秒）
        （2）米/秒≈69.3千米/時
        ∵69.3千米/時<70千米/時
        ∴該車沒有超過限速．
        【點(diǎn)評】此題應(yīng)用了直角三角形中30°角對的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用．
     
    勾股定理的逆定理的應(yīng)用
    例3．如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小華按下列要求作圖：①在正方形網(wǎng)格的三條不同的實(shí)線上各取一個格點(diǎn)，使其中任意兩點(diǎn)不在同一實(shí)線上；②連結(jié)三個格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的正方形網(wǎng)格中作出了Rt△ABC．請你按照同樣的要求，在右邊的兩個正方形網(wǎng)格中各畫出一個直角三角形，并使三個網(wǎng)格中的直角三角形互不全等．
        簡析：此題的答案可以有很多種，關(guān)鍵是抓住有一直角這一特征，可以根據(jù)勾股定理的逆定理“有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則三角形為直角三角形”構(gòu)造出直角三角形，答案如下圖．
     
    【考點(diǎn)精練】
    一、基礎(chǔ)訓(xùn)練
    1．如圖1，修建抽水站時，沿著傾斜角為30°的斜坡鋪設(shè)管道，若量得水管AB的長度為80米，那么點(diǎn)B離水平面的高度BC的長為________米．
    

    試題詳情
    

                            
            
（1）                    
（2）                
（3）
    

    試題詳情
    

    2．如圖2，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AD=2AB，若沿過點(diǎn)D的折痕DE將A角翻折，使點(diǎn)A落在BC上的A處，則∠EAB=_________度．
    

    試題詳情
    

    3．如圖3，矩形紙片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿對角線BD折疊（使△ABD和△EBD落在同一平面內(nèi)），則A、E兩點(diǎn)間的距離為________．
    

    試題詳情
    

    4．如圖4，兩建筑物AB和CD的水平距離為30米，從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角為30°，測得C點(diǎn)的俯角為60°，則建筑物CD的高為_______米．
    

    試題詳情
    

                    
              
（4）                 
（5）                  
（6）
    

    試題詳情
    

    5．（2006年鹽城市）如圖5，AB是⊙O的弦，圓心O到AB的距離OD=1，AB=4，則該圓的半徑是________．
    

    試題詳情
    

    6．（2006年河南省）如圖6，C、D是兩個村莊，分別位于一個湖的南、北兩端的A和B的正東方向上，且D位于C的北偏東30°方向上，CD=6km，則AB=_______km．
    

    試題詳情
    

    7．（2005年吉林�。┤鐖D7，在Rt△ADB中，∠D=90°，C為AD上一點(diǎn)，則x可能是（ 
）
    A．10°     B．20°     C．30°     D．40°
    

    試題詳情
    

                    
              
（7）                      
（8）                  
（9）
    

    試題詳情
    

    8．將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖8所示的圖形，已知∠CED=60°，則∠AED的大小是（  ）
        A．60°    B．50°     C．75°     D．55°
    

    試題詳情
    

    9．如圖9，電線桿AB的中點(diǎn)C處有一標(biāo)志物，在地面D點(diǎn)處測得標(biāo)志物的仰角為45°，若點(diǎn)D到電線桿底部點(diǎn)B的距離為a，則電線桿AB的長可表示為（  ）
    

    試題詳情
    

        A．a(chǎn)      B．2a      C．a      D．a
    

    試題詳情
    

    10．（2006年煙臺市）如圖10，CD是Rt△ABC斜邊上的高，將△BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則∠A等于（  ）
    A．25°     B．30°     C．45°    D．60°
    

    試題詳情
    

                
                  
（10）               
（11）                
（12）
    

    試題詳情
    

    11．（2005年武漢市）如圖11，一電線桿AB的高為10米，當(dāng)太陽光線與地面的夾角為60°時，其影長AC約為（取1.732，結(jié)果保留3個有效數(shù)字）（  ）
    

    試題詳情
    

        A．5.00米     B．8.66米     C．17.3米     D．5.77米
    

    試題詳情
    

    12．（2006年包頭市）如圖12，將等腰直角三角形ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB′C′，若AC=1，則圖中陰影部分的面積為（  ）
    

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        A．     
B．     
C．       D．3
    

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    二、能力提升
    13．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為長邊在△ABC外作矩形，使其每個矩形的寬為長的一半，S1、S2、S3分別表示這三個長方形的面積，則S1、S2、S3之間有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
    

    試題詳情
    

     
     
     
     
     
     
    

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    14．已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長線上，且∠CDF=∠A．求證：四邊形DECF是平行四邊形．
    

    試題詳情
    

     
     
     
     
     
     
    

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    15．（2006年日照市）如圖，已知等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，連接AE、BF．
    求證：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．
    

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    三、應(yīng)用與探究
    16．（2006年棗莊市）兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE與三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說明理由．
    

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    答案：
    考點(diǎn)精練  
    

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    1．40  2．60  3．2  4．20  5．  6．3  
    

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    7．B  8．A  9．B  10．B  11．D 12．B  
    

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    13．S1+S2=S3．證略  
    

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    14．證△DFC≌△AED．根據(jù)一組對邊平行且相等證得四邊形DECF是平行四邊形  
    

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    15．（1）證△AOE≌△BOF可得AE=BF  
    （2）∵OE⊥OF，BF⊥OF，
    ∴BF∥OE，AE⊥OE，∴AE⊥BF  
    

    試題詳情
    

    16．連接AM，可證∠MDA=∠MAB=45°，∠MDE=∠MAC=105°，
    ∴△EDM≌△CAM．∴EM=MC．從而可證CM⊥EM，
    ∴△EMC是等腰直角三角形．
     
     
    

    試題詳情
    

    
				
    
	
    
		
    


    同步練習(xí)冊答案