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數學20分鐘專題突破14

空間向量與立體幾何

一.選擇題

1．下列命題中，假命題是（     ）

（A）a、b是異面直線，則一定存在平面過a且與b平行

（B）若a、b是異面直線，則一定存在平面過a且與b垂直

（C）若a、b是異面直線，則一定存在平面與a、b所成角相等

（D）若a、b是異面直線，則一定存在平面與a、b的距離相等

   2  下列命題中，真命題是（     ）

（A）       若直線m、n都平行于，則

（B）       設是直二面角，若直線則

（C）       若m、n在平面內的射影依次是一個點和一條直線，且，則或

（D）       若直線m、n是異面直線，，則n與相交

   3．如果直線與平面滿足：那么必有（     ）

（A）                    （B）

（C）                    （D）

4．設是兩個不重合的平面，m和是兩條不重合的直線，則的一個充分條件是（     ）

（A）且         （B）且

（C）且               （D）且

5．已知直二面角，直線直線且m、n均不與垂直，則（     ）

（A）m、n可能不垂直，但可能平行        （B）m、n可能垂直，但不可能平行

（C）m、n可能垂直，也可能平行          （D）m、n不可能垂直，也不可能平行

6．二面角是直二面角，如果∠ACF＝30那么（     ）

（A）                                （B）

（C）                                 （D）

二.填空題

1.13.已知正四棱錐P―ABCD的高為4，側棱長與底面所成的角為，則該正四棱錐的側面積是                   ．

2.已知、是三個互不重合的平面，是一條直線，給出下列四個命題：

①若，則；               ②若，則；

③若上有兩個點到的距離相等，則；  ④若，則。

   其中正確命題的序號是          

3.正三棱錐高為2，側棱與底面成角，則點A到側面的距離是     

三.解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點.

（Ⅰ）證明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E―AF―C的余弦值.

答案：

一.選擇題

1.選B      2.選C       3.選A      4選C      5.選A       6.選D

二.填空題

1.         2. ②④       3.

三.解答題

（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.

因為      E為BC的中點，所以AE⊥BC.

     又   BC∥AD，因此AE⊥AD.

因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而    PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

（Ⅱ）解：設AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以  當AH最短時，∠EHA最大，

即     當AH⊥PD時，∠EHA最大.

此時    tan∠EHA=

因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以    PA=2.

解法一：因為   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

        所以   平面PAC⊥平面ABCD.

        過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，

        過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，

       在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

       又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

       又    

       在Rt△ESO中，cos∠ESO=

       即所求二面角的余弦值為

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E、F分別為BC、PC的中點，所以

E、F分別為BC、PC的中點，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（），

所以    

設平面AEF的一法向量為

則      因此

取

因為  BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以   BD⊥平面AFC，

故     為平面AFC的一法向量.

又     =（-），

所以  cos＜m, ＞=

因為   二面角E-AF-C為銳角，

所以所求二面角的余弦值為