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2009年高考數(shù)學難點突破專題輔導三十二

難點32  極限及其運算

極限的概念及其滲透的思想，在數(shù)學中占有重要的地位，它是人們研究許多問題的工具.舊教材中原有的數(shù)列極限一直是歷年高考中重點考查的內(nèi)容之一.本節(jié)內(nèi)容主要是指導考生深入地理解極限的概念，并在此基礎(chǔ)上能正確熟練地進行有關(guān)極限的運算問題.

●難點磁場

(★★★★)求.

●案例探究

［例1］已知(－ax－b)=0,確定a與b的值.

命題意圖：在數(shù)列與函數(shù)極限的運算法則中，都有應(yīng)遵循的規(guī)則，也有可利用的規(guī)律，既有章可循，有法可依.因而本題重點考查考生的這種能力.也就是本知識的系統(tǒng)掌握能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：解決本題的閃光點是對式子進行有理化處理，這是求極限中帶無理號的式子常用的一種方法.

錯解分析：本題難點是式子的整理過程繁瑣，稍不注意就有可能出錯.

技巧與方法：有理化處理.

解：

要使上式極限存在，則1－a²=0,

當1－a²=0時，

∴  解得

［例2］設(shè)數(shù)列a₁,a₂,…,a_n,…的前n項的和S_n和a_n的關(guān)系是S_n=1－ba_n－,其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且b≠－1.

(1)求a_n和a_n－1的關(guān)系式；

(2)寫出用n和b表示a_n的表達式；

(3)當0＜b＜1時，求極限S_n.

命題意圖：歷年高考中多出現(xiàn)的題目是與數(shù)列的通項公式，前n項和S_n等有緊密的聯(lián)系.有時題目是先依條件確定數(shù)列的通項公式再求極限，或先求出前n項和S_n再求極限，本題考查學生的綜合能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點是分析透題目中的條件間的相互關(guān)系.

錯解分析：本題難點是第(2)中由(1)中的關(guān)系式猜想通項及n=1與n=2時的式子不統(tǒng)一性.

技巧與方法：抓住第一步的遞推關(guān)系式，去尋找規(guī)律.

解：(1)a_n=S_n－S_n－1=－b(a_n－a_n－1)－=－b(a_n－a_n－1)+ (n≥2)

解得a_n= (n≥2)

●錦囊妙計

1.學好數(shù)列的極限的關(guān)鍵是真正從數(shù)列的項的變化趨勢理解數(shù)列極限.

學好函數(shù)的極限的關(guān)鍵是真正從函數(shù)值或圖象上點的變化趨勢理解函數(shù)極限.

2.運算法則中各個極限都應(yīng)存在.都可推廣到任意有限個極限的情況，不能推廣到無限個.在商的運算法則中，要注意對式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限.

3.注意在平時學習中積累一些方法和技巧，如：

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

試題詳情

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三、解答題

試題詳情

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難點磁場

殲滅難點訓練

一、1.解析：，

答案：A

2.解析：

答案：C

二、3.解析：

答案：

4.解析：原式=

∴a?b=8

答案：8

三、5.解：(1)由{a_n+1－a_n}是公比為的等比數(shù)列，且a₁=,a₂=,

∴a_n+1－a_n=(a₂－a₁)()^n-1=(－×)()^n-1=,

∴a_n+1=a_n+                                               ①

又由數(shù)列{lg(a_n+1－a_n)}是公差為－1的等差數(shù)列，且首項lg(a₂－a₁)

=lg(－×)=－2,

∴其通項lg(a_n+1－a_n)=－2+(n－1)(－1)=－(n+1),

∴a_n+1－a_n=10^－(n+1),即a_n+1=a_n+10^－(n+1)                                                                                                 ②

①②聯(lián)立解得a_n=［()ⁿ⁺¹－()ⁿ⁺¹］

(2)S_n=

6.解：由于=1，可知，f(2a)=0                                                                      ①

同理f(4a)=0                                                                                                            ②

由①②可知f(x)必含有(x－2a)與(x－4a)的因式，由于f(x)是x的三次多項式，故可設(shè)f(x)=A(x－2a)(x－4a)(x－C),這里A、C均為待定的常數(shù)，

,即4a²A－2aCA=－1                                                         ③

同理，由于=1,得A(4a－2a)(4a－C)=1,即8a²A－2aCA=1                        ④

由③④得C=3a,A=,因而f(x)=  (x－2a)(x－4a)(x－3a),

由數(shù)列{a_n}、{b_n}都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，知p＞0,q＞0

當p＜1時,q＜1,

8.解：(1)a_n=(n－1)d,b_n=2=2^(n－1)d?

S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2⁰+2^d+2^2d+…+2^(n－1)d?

由d≠0,2^d≠1,∴S_n=

∴T_n=

(2)當d＞0時，2^d＞1