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    北京市西城區(qū) 2009年4月抽樣測(cè)試
                           
高三數(shù)學(xué)試卷（文科）                 2009.4      
                         
 
    本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時(shí)間120分鐘.
     
    題號(hào)
     
    分?jǐn)?shù) 
    一 
    二 
    三
    總分
    15
    16
    17
    18
    19
    20
     
                       
 
    第Ⅰ卷(選擇題   共40分)
     
    一、本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng). 
    1. 已知集合，那么集合等于（  ）
    

    試題詳情
    

    A.                          B.        
    

    試題詳情
    

    C.                          D. 
    

    試題詳情
    

    2. 函數(shù)的最小正周期為（     ）
    

    試題詳情
    

    A.                                     B.

    

    試題詳情
    

    C.                                     D.

    

    試題詳情
    

    3. 若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列是（  ）
    

    試題詳情
    

    A. 公比為4的等比數(shù)列                    
B. 公比為的等比數(shù)列  
    

    試題詳情
    

    C. 公比為的等比數(shù)列                    
D. 公比為的等比數(shù)列 
    

    試題詳情
    

    4. 由1、2、3、4、5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有（     ）
    A. 48 個(gè)                                    
B. 72 個(gè)        

    C. 96 個(gè)                                    
D. 120 個(gè)
    

    試題詳情
    

    5.設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足，則的最小值為（      ）
    

    試題詳情
    

    A.                                     B.
          
    C. 
5                                    
D. 27
    

    試題詳情
    

    6. 在平面直角坐標(biāo)系中， A為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，. 若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是（    ）
       A. 橢圓            
B.雙曲線           
C.拋物線          
D. 圓
    

    試題詳情
    

    7．已知直線a 和平面，那么的一個(gè)充分條件是（  ） 
    

    試題詳情
    

    A. 存在一條直線b，          
B. 存在一條直線b， 
    

    試題詳情
    

    C. 存在一個(gè)平面         
D. 存在一個(gè)平面       
    

    試題詳情
    

    8. 函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù) . 
    設(shè)函數(shù)f (x)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：
    

    試題詳情
    

    1；        2；      3.
    

    試題詳情
    

    則等于（     ） 
    

    試題詳情
    

    A.                                     B.        
    

    試題詳情
    

     C. 
1                                    
D. 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    北京市西城區(qū) 2009年抽樣測(cè)試
    

    試題詳情
    

                           
高三數(shù)學(xué)試卷（文科）                 2009.4      
                         
                      
    第Ⅱ卷( 共110分)
     
    

    試題詳情
    

    二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 把答案填在題中橫線上 .
    9. 某單位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 為了調(diào)查他們的身體情況，用分層抽樣的方法從他們中抽取了n個(gè)人進(jìn)行體檢，其中有6名老年人，那么n=_________.
    

    試題詳情
    

    10. 的展開(kāi)式中的系數(shù)是___________.(用數(shù)字作答)
    

    試題詳情
    

    11. 設(shè)a為常數(shù)，.若函數(shù)為偶函數(shù)，則=__________；=_______. 
    

    試題詳情
    

    12. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量 .將繞著點(diǎn)  按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 得到向量 , 則的坐標(biāo)為_(kāi)___________.
    

    試題詳情
    

    13. 已知一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上. 設(shè)此正方體的表面積為，球的表面積，則=_____________.
    

    試題詳情
    

    14．如圖，從雙曲線的左焦點(diǎn)F1引圓的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)F1T交雙曲線右支于P點(diǎn). 設(shè)M為線段F1P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則=_____________；=__________.
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
    15.（本小題滿分12分）
    

    試題詳情
    

    設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且.
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）求的值； 
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）求的值.
                                                                                                                                        
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    16.（本小題滿分12分）
    某個(gè)高中研究性學(xué)習(xí)小組共有9名學(xué)生，其中有3名男生和6名女生. 在研究學(xué)習(xí)過(guò)程中，要進(jìn)行兩次匯報(bào)活動(dòng)（即開(kāi)題匯報(bào)和結(jié)題匯報(bào)），每次匯報(bào)都從這9名學(xué)生中隨機(jī)選1人作為代表發(fā)言. 設(shè)每人每次被選中與否均互不影響.
    （Ⅰ）求兩次匯報(bào)活動(dòng)都是由小組成員甲發(fā)言的概率；
    （Ⅱ）求男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率.
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    17.（本小題滿分14分）
    

    試題詳情
    

    如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， 又
    

    試題詳情
    

    .
    

    試題詳情
    

    (Ⅰ) 求證：平面；
    (Ⅱ) 求PA與平面ABCD所成角的大小；
    (Ⅲ) 求二面角B-PD-C的大小.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    18.（本小題滿分14分）
    

    試題詳情
    

    設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（c是常數(shù)，N*），.
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）求c的值及的通項(xiàng)公式；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）證明：.
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    19.（本小題滿分14分）
    

    試題詳情
    

    已知橢圓C，過(guò)點(diǎn)M(0, 1)的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B.
    （Ⅰ）若l與x軸相交于點(diǎn)P，且P為AM的中點(diǎn)，求直線l的方程；
    

    試題詳情
    

     （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，求的最大值. 
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    20.（本小題滿分14分）
    

    試題詳情
    

    已知函數(shù)R).
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）若a=1，函數(shù)的圖象能否總在直線的下方？說(shuō)明理由；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）若函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
    

    試題詳情
    

    （Ⅲ）設(shè)為方程的三個(gè)根，且，，,求證：.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

                      
高三數(shù)學(xué)試卷（文科）                 2009.4    
    題號(hào)
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案 
    C
    B
    A
    B
    A
    D
    C
    A
    一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 
     
     
     
    二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 
    9. 36        
10. 10        11.
2, 8      12.      13.        14.
5, 2      
    注：兩空的題目，第一個(gè)空3分，第二個(gè)空2分.
    三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 
    15.（本小題滿分12分）
    （Ⅰ）解：由余弦定理，                 
     ----------------------------3分
    得.                                
---------------------------5分
    （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ,
    所以角為銳角，所以，         
----------------------------7分
    則     --------------------------10分
                              

      
.
            所以.                            
---------------------------12分
    16.（本小題滿分12分）
    （Ⅰ）解：記 “2次匯報(bào)活動(dòng)都是由小組成員甲發(fā)言” 為事件A.   -----------------------------1分     

    由題意，得事件A的概率，              

    即2次匯報(bào)活動(dòng)都是由小組成員甲發(fā)言的概率為.           
---------------------------5分
    （Ⅱ）解：由題意，每次匯報(bào)時(shí)，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.
                                                                  
----------------------------6分
         
記“男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)”為事件B，
    由題意，事件B包括以下兩個(gè)互斥事件：
    1事件B1：男生發(fā)言2次女生發(fā)言0次，其概率為
    ，            
----------------------------8分
    2事件B2：男生發(fā)言1次女生發(fā)言1次，其概率為
    ，          
----------------------------10分
    所以，男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率為.
       ---------------------------12分
    17.（本小題滿分14分）
    方法一：（Ⅰ）證明：在中，，
           ，
           ，即，                            
---------------------------1分
           ，
           平面.                                     
---------------------------4分
    （Ⅱ）如圖，連接AC，由（Ⅰ）知平面，
         AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，
         為PA與平面ABCD所成的角.    --------------6分
         在中，，，
         ，
        在中，，，
        ，
        PA與平面ABCD所成角的大小為.               
---------------------------8分
    （Ⅲ）由（Ⅰ）知，
    又，
    平面.                                      
---------------------------9分
    如圖，過(guò)C作于M，連接BM，
    是BM在平面PCD內(nèi)的射影，
    ， 
    為二面角B-PD-C的平面角.                     
 ---------------------------11分
    在中, , PC=1, ，
    ，
    又，，
    ，
    在中, , BC=1, ,
    ,
    二面角B-PD-C的大小為.                      
--------------------------14分
     
方法二：（Ⅰ）同方法一.                                        ---------------------------4分
       （Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知平面，
         AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，
           為PA與平面ABCD所成的角.                    
---------------------------6分
          
如圖，在平面ABCD內(nèi)，以C為原點(diǎn)， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
            
則, ，                 
  
                                                                    
---------------------------7分
           ，
           PA與平面ABCD所成角的大小為.              
---------------------------9分
     （Ⅲ）過(guò)C作于M，連接BM，設(shè)，
           則，
    ，
    ；          
1        
    共線，
    ，              
2
    由12，解得，
    點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，
    ,
    ，
    又，
    為二面角B-PD-C的平面角.                     
 ---------------------------12分
            
，，
            
，  
     二面角B-PD-C的大小為.                       
--------------------------14分
    18.（本小題滿分14分）
    （Ⅰ）解：因?yàn)?sub>，
          所以當(dāng)時(shí)，，解得，          
---------------------------2分
             
當(dāng)時(shí)，，即，解得，
          所以，解得；        
                        ---------------------------5分
    則，數(shù)列的公差，
    所以.                           
---------------------------8分
    （Ⅱ）因?yàn)?
                        
---------------------------9分
            ---------------------------12分
    .                 
     
    因?yàn)?sub>，
    所以 .                         
-------------------------14分
            注：為降低難度，此題故意給出多余條件，有多種解法，請(qǐng)相應(yīng)評(píng)分. 
    19.（本小題滿分14分）
      
（Ⅰ）解：設(shè)A(x1,
y1)， 
    因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，
    所以，解得，                             
-------------------------1分
    又因?yàn)辄c(diǎn)A(x1, y1)在橢圓C上，
    所以，即，解得，
     則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，                     
-------------------------3分
    所以直線l的方程為，或.    -------------------------5分
      
（Ⅱ）設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，則
    所以，
            
則，                  
-------------------------7分
            
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，其方程為，，此時(shí)；
    -------------------------8分
    當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，
       由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，
       消去y得，
       所以，       -------------------------10分
       則，
       所以，
       當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立, 即此時(shí)取得最大值1.    -------------------------13分
    綜上，當(dāng)直線AB的方程為或時(shí)，有最大值1.  -------------------14分
    20.（本小題滿分14分）
    （Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，
    因?yàn)?sub>，
    所以，函數(shù)的圖象不能總在直線的下方.         
---------------------------3分
    （Ⅱ）解：由題意，得，
    令，解得或，                    
--------------------------4分
    當(dāng)時(shí)，由，解得，
    所以在上是增函數(shù)，與題意不符，舍去；
    當(dāng)時(shí)，由，與題意不符，舍去；     --------------------------6分
    當(dāng)時(shí)，由，解得，
    所以在上是增函數(shù)，
    又在(0，2)上是增函數(shù)，
                 
所以，解得，
    綜上，a的取值范圍為.                           
---------------------------9分
    （Ⅲ）解：因?yàn)榉匠?sub>最多只有3個(gè)根， 
      
   由題意，得在區(qū)間內(nèi)僅有一根，
          所以，          
1
    同理，          
2      
--------------------------11分
    當(dāng)時(shí)，由1得
，即，
        由2得，即，
        因?yàn)?sub>，所以，即；
    當(dāng)時(shí)，由1得
，即，
        由2得，即，
        因?yàn)?sub>，所以，即；
    當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>，所以有一根0，這與題意不符.
    綜上，.                                         
---------------------------14分
    注：在第（Ⅲ）問(wèn)中，得到12后，可以在坐標(biāo)平面aOb內(nèi)，用線性規(guī)劃方法解. 請(qǐng)相應(yīng)評(píng)分.
            
          
     
     
    
				
    
	
    
		
    


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