全國歷屆高考數(shù)學(xué)
試題及解答
第五輯
(1995~1999)
一九九五年（理科）
二．填空題：本大題共5小題;每小題4分，共20分。把答案填在題中橫線上。
（20）四個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有________種（用數(shù)字作答）
答：144
（21）（本小題滿分7分）
在復(fù)平面上，一個正方形的四頂點按照逆時針方向依次為Z1，Z2，Z3，O（其中O是原點），已知Z2對應(yīng)復(fù)數(shù)。求Z1和Z3對應(yīng)的復(fù)數(shù)。
解：設(shè)Z1，Z3對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為
依題設(shè)得
（22）（本小題滿分10分）
求的值。
解：原式=
（23）（本小題滿分12分）
如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足。
（Ⅰ）求證：AF⊥DB;
（Ⅱ）如果圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于，求直線DE與平面ABCD所成的角。
D C
F
A H B
E
（Ⅰ）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，
DA⊥平面ABE
∵BE平面ABE，
∴DA⊥EB.
∵AB是圓柱底面的直徑，
點E在圓周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得
EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得
AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB
∴AF⊥DB.
（Ⅱ）解：過點E作EH⊥AB，H是垂足，連結(jié)DH.
根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交線，且EH平面ABE，
∴EH⊥平面ABCD.
又DH平面ABCD，∴DH是ED在平面ABCD上的射影，
從而∠EDH是DE與平面ABCD所成的角.
設(shè)圓柱的底面半徑而R，則DA=AB=2R，于是V圓柱=2πR3，
VD-ABE=AD?S△ABE=?EH.
V圓柱:VD-ABE=3π,得EH=R.
可知H是圓柱底面的圓心，AH=R，
DH=
∴∠EDH=
（24）（本小題滿分12分）
某地為促進淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價格控制在適當范圍內(nèi)，決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補貼。設(shè)淡水魚的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克，根據(jù)市場調(diào)查，當8≤x≤14時，淡水魚的市場日供應(yīng)量P千克與市場日需求量Q千克近似的滿足關(guān)系：
當P=Q時的市場價格稱為市場平衡價格。
（Ⅰ）將市場平衡價格表示為政府補貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域;
（Ⅱ）為使市場平衡價格不高于每千克10元，政府補貼至少為每千克多少元？
解：（Ⅰ）依題設(shè)有
化簡得
當判別式時，可得
解不等式組①，得不等式組②無解。
故所求的函數(shù)關(guān)系式為
函數(shù)的定義域為[0，]
（Ⅱ）為使，應(yīng)有
化簡得
解得
從而政府補貼至少為每千克1元。
（25）（本小題滿分12分）
設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前n項和。
（Ⅰ）證明
（Ⅱ）是否存在常數(shù)c>0使得
成立？并證明你的結(jié)論。
（Ⅰ）證明：設(shè)的公比為，由題設(shè)知
（1）當時，從而
（2）當時，從而
由（1）和（2）得
根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知
即
（Ⅱ）解：要使
成立，則有
分兩種情況討論：（1）當時，
可知，不滿足條件①，即不存在常數(shù)c>0，使結(jié)論成立。
（2）當時，若條件①成立，因
且故只能有即
此時，
但時，不滿足條件②，
即不存在常數(shù)c>0，使結(jié)論成立。
證法二：用反證法.假設(shè)存在常數(shù)c>0，使
，
則有
由（4）得
根據(jù)平均值不等式及（1）、（2）、（3）、（4）知
因為c>0，故（5）式右端非負，而由（Ⅰ）知，（5）式左端小于零，矛盾。
故不存在常數(shù)c>0，使
（26）（本小題滿分12分）
已知橢圓，直線.P是上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|?|OP|=|OR|2.當點P在上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。
解：由題設(shè)知點Q不在原點.設(shè)P，R，Q的坐標分別為
y
P
Q R
O x
（xP,yP),（xR,yR),（x,y),
其中x,y不同時為零.
當點P不在y軸上時，
由于點R在橢圓上及點O，
Q，R共線，得方程組
解得
由于點P在直線上及點O，Q，P共線，
解方程組
解得
當點P在y軸上時，經(jīng)檢驗（1）~（4）式也成立
由題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|2，得
將（1）~（4）式代入上式，化簡整理得
因x與xP同號或y與yP同號，以及（3），（4）知，
故點Q的軌跡方程為
所以點Q的軌跡是以（1，1）為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標原點。
解法二：由題設(shè)點Q不在原點.又設(shè)P，R，Q的坐標分別為
（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同時為零.
設(shè)OP與x軸正方向的夾角為，則有
由上式及題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|2，得
由點P在直線上，點R在橢圓上，得方程組
將（1），（2），（3），（4）代入（5），（6），
整理得點Q的軌跡方程為
所以點Q的軌跡是以（1，1）為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標原點。
解法三：投影法
設(shè)P，R，Q的坐標分別為（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同時為零.
由題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|2
設(shè)OP的方程為
這就是Q點的參數(shù)方程，消去參數(shù)k得
當P在y軸上時，k不存在，此時Q（0，2）滿足方程，
故Q點軌跡是以（1，1）為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標原點。
解法四：極坐標法
在極坐標系OX中，設(shè)∠POX=
由得
由得
由|OQ|?|OP|=|OR|2得即
將（1），（2）代入（3）
故Q點軌跡是以（1，1）為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標原點。
一九九五年（文科）
（1）已知全集I={0，-1，-2，-3，-4，}集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，則 （ B ）
o 1 x -1 o x o 1 x -1 o x
（A）{0} （B）{-3，-4} （C）{-1，-2} （D）
（2）函數(shù)的圖象是 （ D ）
（3）函數(shù)的最小正周期是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（4）正方體的全面積是，它的頂點都在球面上，這個球的表面積是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）若圖中的直線的斜率分別為，則 （ D ）
O
x
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）雙曲線的漸近線方程是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（7）使成立的的取值范圍是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（8）圓的位置關(guān)系是 （ C ）
（A）相離 （B）外切 （C）相交 （D）內(nèi)切
（9）已知是第三象限角，且，那么等于
（A） （B） （C） （D）（ A ）
（10）如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，
D1 F1 C1
A1 E1 B1
D C
A B
B1E1=D1F1=，則BE1與DF1所成角
的余弦值是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（11）已知是x的減函數(shù)，則的取值范圍是（ B ）
（A）（0，2） （B）（0，1） （C）（1，2） （D）（2，+）
（12）在的展開式中，的系數(shù)是 （ D ）
（A）-297 （B）-252 （C）297 （D）207
（13）已知直線，直線.有下面四個命題：（ D ）
① ②
③ ④
其中正確的兩個命題是
（A）①與② （B）③與④ （C）②與④ （D）①與③
（14）等差數(shù)列的前n項和分別為與，若
等于 （ C ）
（A）1 （B） （C） （D）
（15）用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有 （ A ）
（A）24個 （B）30個 （C）40個 （D）60個
（16）方程的解是__________
答：3
（17）已知圓臺上、下底面圓周都在球面上，且下底面過球心，母線與底面所成的角為，則圓臺的體積與球體積之比_______
答：
(18)函數(shù)的最大值是_______
答：
（19）直線過拋物線的焦點，并且與x軸垂直，則被拋物線截得的線段長為_______
答：4
二．填空題：本大題共5小題;每小題4分，共20分。把答案填在題中橫線上。
（20）四個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有________種（用數(shù)字作答）
答：144
（21）（本小題滿分7分）
解方程
解：設(shè)，則原方程可化為
三．解答題：本大題共6小題;共65分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。
所以原方程的解為x=2.
（22）（本小題滿分12分）
設(shè)復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)的模和輻角。
解：
所以復(fù)數(shù)的模為;
輻角為
（23）（本小題滿分10分）
設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前n項和。
證明
證明：設(shè)的公比為，由題設(shè)知
（1）當時，從而
（2）當時，從而
由（1）和（2）得
根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知
即
證法二：設(shè)的公比為，由題設(shè)知
即（以下同證法一）
（24）（本小題滿分12分）
如圖，ABCD是圓柱的軸截面，點E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足。
（Ⅰ）求證：AF⊥DB;
（Ⅱ）如果AB=，圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于，求點E到截面ABCD的距離。
D C
F
A B
E
（Ⅰ）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，
DA⊥平面ABE
∵BE平面ABE，
∴DA⊥EB.
∵AB是圓柱底面的直徑，
點E在圓周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得
EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得
AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB
∴AF⊥DB.
（Ⅱ）解：設(shè)點E到平面ABCD的距離為d
記AD=h，因圓柱軸截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。
S△ABD=AB?AD=
VD-ABE=VE-ABD=S△ABD=
又V圓柱=π?AD=，
由題設(shè)知
即
（25）（本小題滿分12分）
某地為促進淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價格控制在適當范圍內(nèi)，決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補貼。設(shè)淡水魚的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克，根據(jù)市場調(diào)查，當8≤x≤14時，淡水魚的市場日供應(yīng)量P千克與市場日需求量Q千克近似的滿足關(guān)系：
當P=Q時的市場價格稱為市場平衡價格。
（Ⅰ）將市場平衡價格表示為政府補貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域;
（Ⅱ）為使市場平衡價格不高于每千克10元，政府補貼至少為每千克多少元？
解：（Ⅰ）依題設(shè)有
化簡得
當判別式時，可得
解不等式組①，得不等式組②無解。
故所求的函數(shù)關(guān)系式為
函數(shù)的定義域為[0，]
（Ⅱ）為使，應(yīng)有
化簡得
解得
從而政府補貼至少為每千克1元。
（26）（本小題滿分12分）
已知橢圓，直線.P是上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|?|OP|=|OR|2.當點P在上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。
解：由題設(shè)知點Q不在原點.設(shè)P，R，Q的坐標分別為
P
R
Q
O x
（12,yP),（xR,yR),（x,y),
由題設(shè)知xR,>0,x>0.
由點R在橢圓上及點O，Q，R共線，得方程組
解得
由點O，Q，P共線，得
即
由題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|2，得
將（1）、（2）（3）式代入上式，整理得點Q的軌跡方程
所以點Q的軌跡是以（1，0）為中心，長、短半軸分別為1和且長軸在x軸上的橢圓，去掉坐標原點。
一九九六年（理科）
（1）已知全集I=N，集合，。則 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
(A) y (B) y (C) y (D) y
o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x
（3）若，則x的取值范圍是 （ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）復(fù)數(shù)等于 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）如果直線、與平面、、滿足：和，那么必有 （ A ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）且
（6）當時，函數(shù)的 （ D ）
（A）最大值是1，最小值是-1
（B）最大值是1，最小值是
（C）最大值是2，最小值是-2
（D）最大值是2，最小值是-1
（7）橢圓的兩個焦點坐標是 （ B ）
（A）（-3，5），（-3，-3） （B）（3，3），（3，-5）
（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）
（8）若，則等于 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（9）將邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=，則三棱錐D-ABC的體積為 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（10）等比數(shù)列的首項，前n項和為，若，則等于 （ B ）
（A） （B） （C）2 （D）-2
（11）橢圓的極坐標方程為，則它在短軸上的兩個頂點的極坐標是 （ C ）
（A）（3，0），（1，） （B）（），（）
（C）（2，），（2，） （D）（），（）
（12）等差數(shù)列的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為 （ C ）
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
（13）設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線過（，0），（0，）兩點。已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為 （ A ）
（A）2 （B） （C） （D）
（14）母線長為1的圓錐的體積最大時，其側(cè)面展開圖圓心角等于 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（15）設(shè)是上的奇函數(shù)，，當時，，則等于 （ B ）
一．選擇題：本題共15個小題;第（1）-（10）題每小題4分，第（11）-（15）題每小題5分，共65分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5
（16）已知圓與拋物線的準線相切。則p=__________
答：2
（17）正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有_______個（用數(shù)字作答）
答：32
(18)的值是_______
A B
F E
答：
（19）如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成600的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是_______
答：
（20）（本小題滿分11分）
解不等式
解：（Ⅰ）當時，原不等式等價于不等式組：
因為所以
（Ⅱ）當時，原不等式等價于不等式組：
由（1）得，
由（2）得，
綜上，當時，不等式的解集為
當時，不等式的解集為
（21）（本小題滿分12分）
已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足：
A+C=2B，求的值。
解：由題設(shè)條件知：
B=600，A+C=1200
利用和差化積及積化和差公式，上式可化為
將代入上式并整理得
從而得
（22）（本小題滿分12分）
如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥側(cè)面AC1
A C
B
E
A1 C1
B1
（Ⅰ）求證：BE=EB1;
（Ⅱ）若AA1=A1B1，求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角（銳角）的度數(shù)。
注意：在下面橫線上填寫適當內(nèi)容，使之成為（Ⅰ）的完整證明，并解答（Ⅱ）。
（Ⅰ）證明：在截面A1EC內(nèi)，
過E作EG⊥A1C，G是垂足。
A F C
B
三．解答題：本大題共5小題;共50分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。
E
A1 C1
D B1
①∵面A1EC⊥側(cè)面AC1，
∴EG⊥側(cè)面AC1;取AC中點F，連結(jié)BF，F(xiàn)G，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵面ABC⊥側(cè)面AC1，
∴BF⊥側(cè)面AC1;得BF∥EG，BF、EG確定一個平面，交側(cè)面AC1于FG。
③∵BE∥側(cè)面AC1，
∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，
④∵BE∥AA1，
∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，
⑤∵AF=FC，
∴FG=AA1=BB1，即BE=BB1，故BE=EB1。
（Ⅱ）解：分別延長CE、C1B1交于點D，連結(jié)A1D
∵EB1∥CC1，EB1=BB1=CC1，
∴DB1=DC1=B1C1=A1B1，
∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=600，∠DA1B1=∠A1DB1=（1800-∠DB1A1）=300，
∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=900，即DA1⊥A1C1。
∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根據(jù)三垂線定理得DA1⊥A1C
所以∠CA1C1是所求二面角的平面角。
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=900，
∴∠CA1C1=450，即所求二面角為450。
（23）（本小題滿分10分）
某地現(xiàn)有耕地１0000公頃。規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到１公頃）？
（=，=）
解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。
依題意得不等式
化簡得
答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。
（24）（本小題滿分12分）
已知是過點P（）的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩交點，分別為A1、B1和A2、B2。
（Ⅰ）求的斜率k1的取值范圍;
（Ⅱ）若|A1B1|=|A2B2|，求的方程。
解：（Ⅰ）依題意，的斜率都存在。因為過點P（）且與雙曲線有兩個交點，故方程組
（1）
有兩個不同的解。在方程組（1）中消去y，整理得
（2）
若，則方程組（1）只有一個解，即與雙曲線只有一個交點，與題設(shè)矛盾。
故，即。方程（2）的判別式為
設(shè)的斜率為k2,因為過點P（）且與雙曲線有兩個交點，故方程組
（3）
有兩個不同的解。在方程組（3）中消去y，整理得
（4）
同理有，
又因為，所以有
于是，與雙曲線各有兩個交點，等價于
（Ⅱ）設(shè)A1（x1,y1）B1（x2,y2）.由方程（2）知
同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得
由|A1B1|=|A2B2|，得|A1B1|2=5|A2B2|2.
將（5）、（6）代入上式得
解得
取時，
取時，
（25）（本小題滿分12分）
已知是實數(shù)，函數(shù)當時，
（Ⅰ）證明：
（Ⅱ）證明：當時，
（Ⅲ）設(shè)當時，的最大值為2，求.
（Ⅰ）證明：由條件當時，，
取x=0得，即
（Ⅱ）證法一：當時，在[-1，1]上是增函數(shù)，
由此得
當時，在[-1，1]上是減函數(shù)，
由此得
當時，
綜上得
證法二：由可得
當時，有
根據(jù)含絕對值的不等式的性質(zhì)，得
即
（Ⅲ）因為時，在[-1，1]上是增函數(shù)，
當x=1時取最大值2，
即
因為當時，，即
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直線x=0為的圖象的對稱軸，由此得
由（1）得
所以
一九九六年（文科）
（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.則 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
(A) y (B) y (C) y (D) y
o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x
（3）若，則x的取值范圍是 （ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）復(fù)數(shù)等于 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有 （ C ）
（A）720種 （B）360種 （C）240種 （D）120種
（6）已知是第三象限角且，則 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（7）如果直線、與平面、、滿足：和，那么必有 （ A ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）且
（8）當時，函數(shù)的 （ D ）
（A）最大值是1，最小值是-1
（B）最大值是1，最小值是
（C）最大值是2，最小值是-2
（D）最大值是2，最小值是-1
（9）中心在原點，準線方程為，離心率為的橢圓方程是
（A） （B） （ A ）
（C） （D）
（10）圓錐母線長為1，側(cè)面展開圖圓心角為2400，該圓錐的體積是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（11）橢圓的兩個焦點坐標是 （ B ）
（A）（-3，5），（-3，-5） （B）（3，3），（3，-5）
（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）
（12）將邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=，則三棱錐D-ABC的體積為 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）等差數(shù)列的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為 （ C ）
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
（14）設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線過（，0），（0，）兩點。已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為 （ A ）
（A）2 （B） （C） （D）
（15）設(shè)是上的奇函數(shù)，，當時，，則等于 （ B ）
一．選擇題：本題共15個小題;第（1）-（10）題每小題4分，第（11）-（15）題每小題5分，共65分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5
（16）已知點（-2，3）與拋物線的焦點的距離是5，則p=__________
答：4
（17）正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有_______個（用數(shù)字作答）
答：32
(18)的值是_______
A B
F E
答：
（19）如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成600的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是_______
答：
（20）（本小題滿分11分）
解不等式
解：（Ⅰ）當時，原不等式等價于不等式組：
（Ⅱ）當時，原不等式等價于不等式組：
綜上，當時，不等式的解集為
當時，不等式的解集為
（21）（本小題滿分12分）
設(shè)等比數(shù)列的前n項和為.若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q.
三．解答題：本大題共5小題;共50分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。
解：q=1，則有S3=3，S6=6，S9=9.但，即得S3+S6≠2S9，與題設(shè)矛盾，故.
又依題意S3+S6=2S9可得
（22）（本小題滿分12分）
已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足：
A+C=2B，求的值。
解：由題設(shè)條件知：
B=600，A+C=1200
利用和差化積及積化和差公式，上式可化為
將代入上式并整理得
從而得
（23）（本小題滿分12分）
【注意：本題的要求是，參照標本①的寫法，在標本②、③、④、⑤的橫線上填寫適當步驟，完成（Ⅰ）證明的全過程;并解答（Ⅱ）.】
如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，E、F分別是BB1、CC1上的點，且BE=，CF=2
A1 C1
B1
F
E
A C
B
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF;
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積。
（Ⅰ）證明：
①∵BE=，CF=2，BE∥CF，延長FE與CB延長線交于D，連結(jié)AD。
∴△DBE∽△DCF，
∴
②∵BE:CF=1:2，∴DC=2DB，∴DB=BC，
∴DB=AB.
③∵△ABD是等腰三角形，
且∠ABD=1200，∴∠BAD=300，
∴∠CAD=900，∴DA⊥AC.
④∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上的射影，
且CA⊥AD，∴FA⊥AD.
⑤∵FF∩AC=A，DA⊥面ACF，而DA 面ADF，
A1 G C1
B1
F
A C
B
D
∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面ACF.
（Ⅱ）解：∵VA1-AEF=VE-AA1F.
在面A1B1C1內(nèi)作B1G⊥A1C1，
垂足為G. B1G=.
面A1B1C1⊥面A1C，
∴EBB1，而BB1∥面A1C，
∴三棱錐E-AA1F的高為.
S△A1AF=?AA1?AC=.
∴VA1-AEF=VE-AA1F=
（24）（本小題滿分10分）
某地現(xiàn)有耕地１0000公頃。規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到１公頃）？
（=，=）
解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。
依題意的不等式
化簡得
答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。
（25）（本小題滿分12分）
已知是過點P（）的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩交點，分別為A1、B1和A2、B2。
（Ⅰ）求的斜率k1的取值范圍;
（Ⅱ）若A1恰是雙曲線的一個頂點，求|A2B2|的值。
解：（Ⅰ）依題意，的斜率都存在。因為過點P（）且與雙曲線有兩個交點，故方程組
（1）
有兩個不同的解。在方程組（1）中消去y，整理得
（2）
若，則方程組（1）只有一個解，即與雙曲線只有一個交點，與題設(shè)矛盾。
故，即。方程（2）的判別式為
設(shè)的斜率為k2,因為過點P（）且與雙曲線有兩個交點，故方程組
（3）
有兩個不同的解。在方程組（3）中消去y，整理得
（4）
同理有，
又因為，所以有
于是，與雙曲線各有兩個交點，等價于
（Ⅱ）雙曲線的頂點為（0，1）、（0，-1）。
取A1（0，1）時，有
解得從而，
將代入方程（4）得
（5）
記與雙曲線的兩交點為A2（x1,y1）B2（x2,y2）.則
由（5）知
同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得
當取A1（0，-1）時，由雙曲線關(guān)于x軸的對稱性，知
所以過雙曲線的一個頂點時，。
一九九七年（理科）
（1）設(shè)集合M=，集合N=，集合 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果直線與直線平行，那么系數(shù) （ B ）
（A）-3 (B)-6 (C) (D)
（3）函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象是 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
o x o x o x o x
（4）已知三棱錐D-ABC的三個側(cè)面與底面全等，且AB=AC=，BC=2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小是
（A） （B） （C） （D） （ C ）
（5）函數(shù)的最小正周期是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）滿足的x的取值范圍是 （ D ）
（A）[-1，]（B）[，0]（C）[0，]（D）[，1]
（7）將的圖象 （ D ）
（A）先向左平行移動1個單位（B）先向右平行移動1個單位
（C）先向上平行移動1個單位（D）先向下平行移動1個單位
再作關(guān)于直線對稱的圖象，可得到函數(shù)的圖象
（8）長方體一個頂點上三條棱的長分別是3，4，5，且它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（9）曲線的參數(shù)方程是，它的普通方程是（A） （B） （ B ）
（C） （D）
（10）函數(shù)的最小值為 （ B ）
（A）2 （B）0 （C） （D）6
（11）橢圓C與橢圓關(guān)于直線對稱，橢圓C的方程是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（12）圓臺上、下底面積分別為，側(cè)面積為，這個圓臺的體積是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）定義在區(qū)間的奇函數(shù)為增函數(shù);偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合。設(shè)，給出下列不等式： （ C ）
① ②
③ ④
其中成立的是
（A）①與④ （B）②與③ （C）①與③ （D）②與④
（14）不等式組的解集是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
（15）四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有 （ D ）
（A）150種 （B）147種 （C）144種 （D）141種
（16）已知的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為_____
答：4
（17）已知直線的極坐標方程為，則極點到該直線的距離是_______
答：
(18)的值為_______
答：
（19）已知是直線，是平面，給出下列命題：
①若垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則
②若平行于，則平行于內(nèi)的所有直線;
③若
④若
⑤若
其中正確的命題的序號是________（注：把你認為正確的命題的序號都填上）
答：①，④
（20）（本小題滿分10分）
已知復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別為P，Q。證明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O為原點）
解：因為
因為
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .
由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形。
（21）（本小題滿分11分）
已知數(shù)列都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為，其中，且設(shè)為數(shù)列的前n項和.求
解：
分兩種情況討論：
（1）
（2）
（22）（本小題滿分12分）
甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過C千米/小時。，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/小時）的平方成正比，比例系數(shù)為；固定部分為元。
（Ⅰ）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？
解：（Ⅰ）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，
全程運輸成本為
故所求函數(shù)及其定義域為
（Ⅱ）依題意知S，都為正數(shù)，故有
當且僅當時上式中等號成立。
若時，全程運輸成本y最小
若時，有
因為
所以時等號成立，也即當時，
全程運輸成本y最小。
綜上知，為使全程運輸成本y最小，當時行駛速度應(yīng)為
當時行駛速度應(yīng)為。
（23）（本小題滿分12分）
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點。
D1 C1
A1 B1
三．解答題：本大題共6小題;共69分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。
E
D C
H F
A B
G
（Ⅰ）證明AD⊥D1F;
（Ⅱ）求AE與D1F所成的角;
（Ⅲ）證明面AED⊥面A1FD1;
（Ⅳ）設(shè)AA1=2，求三棱錐F-A1ED1的
體積VF-A1ED1.
解：（Ⅰ）∵AC1是正方體，
∴AD⊥面DC1，又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F.
（Ⅱ）取AB中點G，連結(jié)A1G，F(xiàn)G
因為F是CD的中點，所以GF、AD平行且相等，
又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，
故GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D1F。
設(shè)A1G與AE相交與點H，則∠AHA1是AE與D1F所成的角。
因為E是BB1的中點，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，從而∠AHA1=900，即直線AE與D1F所成角為直角。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED
又因為D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
（Ⅳ）連結(jié)GE，GD1.
∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，
∴體積VF-A1ED1=VG-A1ED1=VD1-A1GE，
∵AA1=2，∴面積S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG-S△GBE=
∴VF-A1ED1=VD1-A1GE=
（24）（本小題滿分12分）
設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根滿足
（Ⅰ）當時，證明：
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明：
解：（Ⅰ）令因為是方程的根，所以
（Ⅱ）依題意知
因為是方程的根，即是方程
的根
所以
（25）（本小題滿分12分）
設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1。在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線：的距離最小的圓的方程。
解法一：設(shè)圓的圓心為，半徑為，則點P到x軸，y軸距離分別為
由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為900，知圓P截x軸所得的弦長為，故
又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有從而得
又點到直線的距離為
所以
當且僅當時上式等號成立，此時，從而取得最小值.
由此有解此方程組得
由于知
于是，所求圓的方程是
解法二：同解法一得
，得
將代入（1）式，整理得
把它看作的二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即
所以 有最小值1，從而有最小值
將其中代入（2）式得解得
將代入
綜上
由同號。
于是，所求圓的方程是
一九九七年（文科）
（1）設(shè)集合M=，集合N=，集合 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果直線與直線平行，那么系數(shù) （ B ）
（A）-3 (B)-6 (C) (D)
（3）函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象是 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
o x o x o x o x
（4）已知三棱錐D-ABC的三個側(cè)面與底面全等，且AB=AC=，BC=2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小是
（A） （B） （C） （D） （ C ）
（5）函數(shù)的最小正周期是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）滿足的角的一個取值區(qū)間是 （ C ）
（A）（0，] （B）[0，] （C）[，） （D）[，]
（7）設(shè)函數(shù)定義域在實數(shù)集上，則函數(shù)與
的圖象關(guān)于 （ D ）
（A）直線y=0對稱 （B）直線x=0對稱
（C）直線y=1對稱 （D）直線x=1對稱
（8）長方體一個頂點上三條棱的長分別是3，4，5，且它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果直線將圓：平分，且不通過第四象限，那么的斜率的取值范圍是 （ A ）
（A）[0，2] （B）[0，1] （C）[0，] （D）[0，）
（10）函數(shù)的最小值為 （ B ）
（A）2 （B）0 （C） （D）6
（11）橢圓C與橢圓關(guān)于直線對稱，橢圓C的方程是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（12）圓臺上、下底面積分別為，側(cè)面積為，這個圓臺的體積是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）定義在區(qū)間的奇函數(shù)為增函數(shù);偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合。設(shè)，給出下列不等式： （ C ）
① ②
③ ④
其中成立的是
（A）①與④ （B）②與③ （C）①與③ （D）②與④
（14）不等式組的解集是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
（15）四面體的一個頂點為A，從其它頂點與各棱中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有 （ B ）
（A）30種 （B）33種 （C）36種 （D）39種
（16）已知的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為_____
答：4
（17）已知直線與拋物線交于A、B兩點，那么線段AB的中點坐標是_______
答：（4，2）
(18)的值為_______
答：
（19）已知是直線，是平面，給出下列命題：
①若垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則
②若平行于，則平行于內(nèi)的所有直線;
③若
④若
⑤若
其中正確的命題的序號是________（注：把你認為正確的命題的序號都填上）
答：①，④
（20）（本小題滿分10分）
已知復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)的模及輻角主值。
解：
故復(fù)數(shù)的模為，輻角主值為.
（21）（本小題滿分11分）
設(shè)是等差數(shù)列前n項和。已知與的等比中項為，與的等差數(shù)列中項為1。求等差數(shù)列的通項.
解：設(shè)等差數(shù)列數(shù)列的首項公差為，
則通項為
前n項和為
依題意有
其中由此可得
整理得解方程組得
由此得
經(jīng)驗證知均適合題意。
故所求等差數(shù)列的通項為
（22）（本小題滿分12分）
甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過C千米/小時。，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/小時）的平方成正比，比例系數(shù)為；固定部分為元。
（Ⅰ）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？
解：（Ⅰ）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，
全程運輸成本為
故所求函數(shù)及其定義域為
（Ⅱ）依題意知S，都為正數(shù)，故有
當且僅當時上式中等號成立。
若時，全程運輸成本y最小
若時，有
因為
所以時等號成立，也即當時，
全程運輸成本y最小。
綜上知，為使全程運輸成本y最小，當時行駛速度應(yīng)為
當時行駛速度應(yīng)為。
（23）（本小題滿分12分）
D1 C1
三．解答題：本大題共6小題;共69分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。
A1 B1
D C
F
A B
G
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點。
（Ⅰ）證明AD⊥D1F;
（Ⅱ）求AE與D1F所成的角;
（Ⅲ）證明面AED⊥面A1FD1;
（Ⅳ）設(shè)AA1=2，求三棱錐E-AA1F的體積VE-AA1F.
解：（Ⅰ）∵AC1是正方體，
∴AD⊥面DC1，又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F.
（Ⅱ）取AB中點G，連結(jié)A1G，F(xiàn)G
因為F是CD的中點，所以GF、AD平行且相等，
又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，
故GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D1F。
設(shè)A1G與AE相交與點H，則∠AHA1是AE與D1F所成的角。
因為E是BB1的中點，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，從而∠AHA1=900，即直線AE與D1F所成角為直角。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED
又因為D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
（Ⅳ）∵體積VE-AA1F=VF-AA1E，
又FG⊥面ABB1A1，三棱錐F-AA1E的高FG=AA1=2，
面積S△AA1E=S□ABB1A1=
∴VE-AA1F =
（24）（本小題滿分12分）
已知過原點O的一條直線與函數(shù)的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C、D兩點。
（Ⅰ）證明點C、D和原點O在同一條直線上;
（Ⅱ）當BC平行于x軸時，求點A的坐標。
解：（Ⅰ）設(shè)點A、B的橫坐標分別為，
由題設(shè)知，，則點A、B縱坐標分別為
因為A、B在過點O的直線上，
所以
點C、D的坐標分別為
由于
OC的斜率OD的斜率
由此可知，
即O、C、D在同一條直線上。
（Ⅱ）由于BC平行于x軸知即得
代入得
由于
考慮
于是點A的坐標為
（25）（本小題滿分12分）
設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1;③圓心到直線：的距離為。求該圓的方程。
解法一：設(shè)圓的圓心為，半徑為，則點P到x軸，y軸距離分別為
由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為900，知圓P截x軸所得的弦長為，故
又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有從而得
又點到直線的距離為，所以
即有，由此有
解方程組得于是知
所求圓的方程是
于是，所求圓的方程是
一九九八年（理科）
（1）的值是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（2）函數(shù)的圖象是 （ B ）
1
1 1
o x o x o x o x
（3）曲線的極坐標方程化成直角坐標方程為 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（4）兩條直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件（ A ）
（A）A1A2+B1B2=0（B）A1A2-B1B2=0（C）（D）
（5）函數(shù)的反函數(shù) （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）已知點P在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為 （ C ）
（A）1200 （B）1500 （C）1800 （D）2400
（8）復(fù)數(shù)-i的一個立方根是i，它的另外兩個立方根是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果棱臺的兩底面積分別是S，S＇，中截面的面積是S0，那么 （ A ）
H h
（A） （B）
（C） （D）
（10）向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是 （ B ）
（11）3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體驗，每校分配1名醫(yī)生和2名護士。不同的分配方法共有 （ D ）
（A）90種 （B）180種 （C）270種 （D）540種
（12）橢圓的焦點為F1和F2，點P在橢圓上。如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的 （ A ）
（A）7倍 （B）5倍 （C）4倍 （D）3倍
（13）球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這3個點的小圓的周長為，那么這個球的半徑為（ B ）
（A） （B） （C）2 （D）
（14）一個直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為（ B ）
（A）（B）（C）（D）
（15）在等比數(shù)列中，且前n項和滿足那么的取值范圍是 （ D ）
（A） （B）（1，4） （C）（1，2） （D）（1，）
（16）設(shè)圓過雙曲線的一個頂點和一個焦點，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是__________
答：
（17）的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）
答：179
B1
C1
A D
B
C
(18)如圖，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時，有A1C⊥B1D1.（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）
答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）
（19）關(guān)于函數(shù)，
有下列命題：
①由可得必是的整數(shù)倍;
②的表達式可改寫成
③的圖象關(guān)于點對稱;
④的圖象關(guān)于直線對稱.
其中正確的命題的序號是________（注：把你認為正確的命題的序號都填上）
答：②，③
（20）（本小題滿分10分）
在△ABC中，分別是接A，B，C的對邊，設(shè)A-C=求的值。以下公式供解題時參考：
解：由正弦定理和已知條件得
由和差化積公式
由A+B+C=得
又A-C=得
（21）（本小題滿分11分）
三．解答題：本大題共6小題;共69分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。
如圖，直線和相交于點M，⊥，點以A，B為端點的曲線段C上的任一點到的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線段C的方程。
B
A
M O N x
解法一：如圖建立坐標系，以為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點。依題意知：曲線段C是以點N為焦點，以為準線的拋物線的一段，其中A，B分別為C的端點。
設(shè)曲線段C的方程為
其中分別為A，B的橫坐標，
由得
由（1），（2）兩式聯(lián)立解得再將其代入（1）式并由解得
因為△AMN為銳角三角形，所以故舍去
由點B在曲線段C上，得
綜上得曲線段C的方程為
y
F
A
D
M O E N x
解法二：如圖建立坐標系，
以、為x、y軸，M為坐標原點.
作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分別為E、D、F.
設(shè)
依題意有
由于△AMN為銳角三角形，故有
設(shè)點是曲線段C上任一點，得由題意知P屬于集合
故曲線段C的方程為
（22）（本小題滿分12分）
B
2
如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長度為米，高度為米。已知流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與的乘積成反比�，F(xiàn)有制箱材料60平方米。問當各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最�。ˋ、B孔的面積忽略不計）
解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，則，其中k＞0為比例系數(shù)。依題意，即所求的值使y值最小。
根據(jù)題設(shè)，有
得
于是
當時取等號，y達到最小值
這時（舍去）
將代入（1）式得
故當為6米，為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。
解法二：即所求的值使最大
由題設(shè)知
即
當且僅當時，上式取等號.
由解得
即當時，取得最大值為18.
解得
故當為6米，為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。
（23）（本小題滿分12分）
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.
（Ⅰ）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小;
（Ⅱ）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小;
（Ⅲ）求頂點C到側(cè)面A1ABB1的距離。
B1
H
D
A C
E B
（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足為D，
由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD為A1A與面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，
∴∠A1AD=450為所求。
（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足為E，連A1E，則由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，
∴∠A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角.
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.
又D是AC的中點，BC=2，AC=，
∴DE=1，AD=A1D=，
故∠A1ED=600為所求。
（Ⅲ）解法一：由點C作平面A1ABB1的垂線，垂足為H，則CH的長是C到平面A1ABB1的距離。
連結(jié)HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.
又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，∴∠HBC=∠A1ED=600.
∴CH=BC為所求.
解法二：連結(jié)A1B.
根據(jù)定義，點C到面A1ABB1的距離，即為三棱錐C-A1AB的高h
由
即為所求.
（24）（本小題滿分12分）
設(shè)曲線C的方程是將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度后得曲線C1.
（Ⅰ）寫出曲線C1的方程;
（Ⅱ）證明曲線C與C1關(guān)于點對稱;
（Ⅲ）如果C與C1有且僅有一個公共點，證明
（Ⅰ）解：曲線C1的方程為
（Ⅱ）證明：在曲線C上任取一點B1（x1,y1).設(shè)B2（x2,y2)是B1關(guān)于點A的對稱點，則有
代入曲線C的方程，得滿足方程：
，
可知點B2（x2,y2)在曲線C1上.
反過來，同樣可以證明，在曲線C1上的點關(guān)于點A對稱點在曲線C上.
因此，曲線C與C1關(guān)于點A對稱。
（Ⅲ）證明：因為曲線C與C1有且僅有一個公共點，，所以，方程組有且僅有一組解。
消去y，整理得
這個關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個根。
所以并且其根的判別式
（25）（本小題滿分12分）
已知數(shù)列是等差數(shù)列，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項，記是數(shù)列的前n項和.試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.
解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得
（Ⅱ）由知
因此要比較與的大小，可先比較
的大小。
取n=1有
取n=2有
……
由此推測 ①
若①式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：
當時，＞.
當時，＜.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.
（i）當n=1時已驗證①式成立.
（ii）假設(shè)當n=k（k≥1）時，①式成立，即
那么，當n=k+1時，
因而
就是說①式當n=k+1時也成立。由（i）（ii）知①式對任何正整數(shù)n都成立。
因此證得：當時，＞.
當時，＜.
一九九八年（文科）
（1）的值是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（2）函數(shù)的圖象是 （ B ）
1
1 1
o x o x o x o x
（3）已知直線和圓相切，那么的值是
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2 （ C ）
（4）兩條直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件（ A ）
（A）A1A2+B1B2=0（B）A1A2-B1B2=0（C）（D）
（5）函數(shù)的反函數(shù) （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）已知點P在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為 （ C ）
（A）1200 （B）1500 （C）1800 （D）2400
（8）復(fù)數(shù)-i的一個立方根是i，它的另外兩個立方根是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果棱臺的兩底面積分別是S，S＇，中截面的面積是S0，那么 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（10）2名醫(yī)生和4名護士被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體驗，每校分配1名醫(yī)生和2名護士。不同的分配方法共有 （ B ）
H h
（A）6種 （B）12種 （C）18種 （D）24種
（11）向高為H的水瓶中注水，注滿
為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)
關(guān)系的圖象如右圖所示，那么水瓶的
形狀是 （ B ）
（12）橢圓的一個焦點為F1，點P在橢圓上。如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（13）球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這3個點的小圓的周長為，那么這個球的半徑為（ B ）
（A） （B） （C）2 （D）
（14）一個直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角的正弦值為 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（15）等比數(shù)列的公比為，前n項和滿足那么的值為 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（16）設(shè)圓過雙曲線的一個頂點和一個焦點，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是__________
答：
（17）的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）
答：179
A1 D1
B1
C1
A D
B
C
(18)如圖，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時，有A1C⊥B1D1.（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）
答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）
（19）關(guān)于函數(shù)，
有下列命題：
①的表達式可改寫成
②是以為最小正周期的周期函數(shù);
③的圖象關(guān)于點對稱;
④的圖象關(guān)于直線對稱.
其中正確的命題的序號是________（注：把你認為正確的命題的序號都填上）
答：①，③
（20）（本小題滿分10分）
設(shè)，解關(guān)于x的不等式
解：將原不等式化為
移項，整理后得
，即
即
解此不等式，得解集
（21）（本小題滿分11分）
在△ABC中，分別是接A，B，C的對邊，設(shè)A-C=求的值。以下公式供解題時參考：
解：由正弦定理和已知條件得
由和差化積公式
由A+B+C=得
又A-C=得
（22）（本小題滿分12分）
三．解答題：本大題共6小題;共69分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。
如圖，直線和相交于點M，⊥，點以A，B為端點的曲線段C上的任一點到的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線段C的方程。
B
A
M O N x
解法一：如圖建立坐標系，以為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點。依題意知：曲線段C是以點N為焦點，以為準線的拋物線的一段，其中A，B分別為C的端點。
設(shè)曲線段C的方程為
其中分別為A，B的橫坐標，
由得
由（1），（2）兩式聯(lián)立解得再將其代入（1）式并由解得
因為△AMN為銳角三角形，所以故舍去
由點B在曲線段C上，得
綜上得曲線段C的方程為
y
F
A
D
M O E N x
解法二：如圖建立坐標系，
以、為x、y軸，M為坐標原點.
作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分別為E、D、F.
設(shè)
依題意有
由于△AMN為銳角三角形，故有
設(shè)點是曲線段C上任一點，得由題意知P屬于集合
故曲線段C的方程為
（23）（本小題滿分12分）
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.
（Ⅰ）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小;
（Ⅱ）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小;
（Ⅲ）求側(cè)棱B1B和側(cè)面A1ACC1的距離。
B1
D F
A C
E B
（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足為D，
由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD為A1A與面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，
∴∠A1AD=450為所求。
（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足為E，連A1E，則由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，
∴∠A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角.
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.
又D是AC的中點，BC=2，AC=，
∴DE=1，AD=A1D=，
故∠A1ED=600為所求。
（Ⅲ）作BF⊥AC，F(xiàn)為垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1
∵B1B∥面A1ACC1
∴BF的長是B1B和平面A1ACC1的距離。
連結(jié)HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.
在Rt△ABC中，
∴為所求。
（24）（本小題滿分12分）
B
2
如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長度為米，高度為米。已知流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與的乘積成反比�，F(xiàn)有制箱材料60平方米。問當各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最�。ˋ、B孔的面積忽略不計）
解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，則，其中k＞0為比例系數(shù)。依題意，即所求的值使y值最小。
根據(jù)題設(shè)，有
得
于是
當時取等號，y達到最小值
這時（舍去）
將代入（1）式得
故當為6米，為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。
解法二：即所求的值使最大
由題設(shè)知
即
當且僅當時，上式取等號.
由解得
即當時，取得最大值為18.
解得
故當為6米，為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。
（25）（本小題滿分12分）
已知數(shù)列是等差數(shù)列，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項，記是數(shù)列的前n項和.試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.
解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得
（Ⅱ）由知
因此要比較與的大小，可先比較
的大小。
取n=1有
取n=2有
……
由此推測 ①
若①式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：
＞.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.
（i）當n=1時已驗證①式成立.
（ii）假設(shè)當n=k（k≥1）時，①式成立，即
那么，當n=k+1時，
因而
就是說①式當n=k+1時也成立。
由（i）（ii）知①式對任何正整數(shù)n都成立。
因此證得＞.
一九九九年（理科）
（1）如圖,I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是，則 （ C ）
（A）（MP）S
（B）（MP）S
（C）（MP）
（D）（MP）
（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且對任意的，在B中和它對應(yīng)的元素是，則集合B中元素的個數(shù)是（ A ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（3）函數(shù)的反函數(shù)是，則等于（A） （B） （C） （D） （ A ）
（4）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則函數(shù)上 （ C ）
（A）是增函數(shù) （B）是減函數(shù)
（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M
（5）若是周期為的奇函數(shù)，則可以是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）在極坐標系中，曲線關(guān)于 （ B ）
（A）直線軸對稱 （B）直線軸對稱
（C）點中心對稱 （D）極點中心對稱
（7）若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm。若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是 （ B ）
（A）cm （B）6cm （C）cm （D）cm
（8）若
的值為 （ A ）
（A）1 （B）-1 （C）0 （D）2
（9）直線截圓得的劣弧所對的圓心角為
（A） （B） （C） （D） （ C ）
E F
D C
A B
（10）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則多面體的體積為 （ D ）
（A） （B）5 （C）6 （D）
（11）若 （ B ）
（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）
（12）如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，它們的側(cè)面積比為1:2，那么R= （ D ）
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）已知兩點M（1，）、N（-4，-），給出下列曲線方程：
① ② ③ ④
在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是 （ D ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
（14）某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤。根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有 （ C ）
（A）5種 （B）6種 （C）7種 （D）8種
（15）設(shè)橢圓的右焦點為F1，右準線為。若過F1且垂直于x軸的弦長等于點F1到的距離，則橢圓的離心率是__________
答：
（16）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟。為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共用______種（用數(shù)字作答）
答：12
（17）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是_______
答：
（18）是兩個不同平面，是平面之外的兩條不同直線，給出四個論斷：
① ② ③ ④
以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題：__________
答：，，或，，
（19）（本小題滿分10分）
解不等式
解：原不等式等價于
由(1)得由(2)得
由(3)得由此得
當時得所求的解集是;
當時得所求的解集是
（20）（本小題滿分12分）
設(shè)復(fù)數(shù)求函數(shù)最大值以及對應(yīng)的值。
解:由
由得
故
當且僅當時,即時,上式取等號.
所以當時,函數(shù)取最大值
由內(nèi)正切函數(shù)是遞增函數(shù),
函數(shù)y也取最大值.
（21）（本小題滿分12分）
如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,點E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC與底面ABCD所成的角為450,AB=.
A1 B1
E
P
Q
D C
O
A B
（Ⅰ）求截面EAC的面積;
（Ⅱ）求異面直線A1B1與AC之間的距離;
（Ⅲ）求三棱錐B1-EAC的體積。
（Ⅰ）解：如圖，連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO。∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，
∴∠EOD=450。DO=
故
（Ⅱ）解：由題設(shè)ABCD- A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，
A1A⊥AC。又A1A⊥A1B1，
∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線。
∵D1B∥面EAC，且面D1BD與面EAC交線為EO，∴D1B∥EO。
又O是DB的中點，∴E是D1D的中點，D1B=2EO=2。
∴D1D=
異面直線A1B1與AC間的距離為
（Ⅲ）解：連結(jié)D1B1。∵D1D=DB=，∴BDD1B1是正方形。
連結(jié)B1D交D1B于P，交EO與Q
∵B1D⊥D1B，EO∥D1B，∴B1D⊥EO。
又AC⊥EO，AC⊥ED。∴AC⊥面BDD1B1，∴B1D⊥AC，∴B1D⊥面EAC
∴B1Q是三棱錐B1-EAC的高。
由DQ=PQ，得B1Q=
所以三棱錐B1-EAC的體積是
三．解答題：本大題共6小題;共74分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。
右圖為一臺冷軋機的示意圖。冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出。
（Ⅰ）輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對軋輥的減薄率不超過問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？
（一對軋輥減薄率=）
（Ⅱ）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長均為1600mm。若第k對軋輥有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點間距為Lk。為了便于檢修，請計算L1、L2、L3并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）
軋輥序號k
1
2
3
4
疵點間距Lk(單位:mm)
1600
解：（Ⅰ）厚度為的帶鋼經(jīng)過減薄率均為的n對軋輥后厚度為
，為使輸出帶鋼的厚度不超過，冷軋機的軋輥數(shù)（以對為單位）應(yīng)滿足
即對上式兩端取對數(shù)得
因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對軋輥。
（Ⅱ）解一：第k對軋輥出口處疵點間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼的體積為
而在冷軋機出口處兩疵點間帶鋼的體積為
因?qū)挾认嗟�，且不考慮損耗，由體積相等得
即由此得
L3=2000（mm）,L2=2500(mm),L1=3125(mm)
填表如下：
軋輥序號k
1
2
3
4
疵點間距Lk(單位:mm)
3125
2500
2000
1600
解二：第三對軋輥出口疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼的體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔�，�?/p>
所以，同理：
填表如下：
軋輥序號k
1
2
3
4
疵點間距Lk(單位:mm)
3125
2500
2000
1600
（23）（本小題滿分14分）
已知函數(shù)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線。當時，該圖象是斜率為的線段（其中正常數(shù)），設(shè)數(shù)列由定義。
（Ⅰ）求x1、x2和xn的表達式;
（Ⅱ）求的表達式，并寫出其定義域;
（Ⅲ）證明：的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點。
解：（Ⅰ）依題意函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故由
又由的圖象是斜率為的線段，
故由
記由函數(shù)圖象中第n段線段的斜率為故得
由此知數(shù)列為等比數(shù)列，其首項為1，公比為
由，得
即
（Ⅱ）當從（Ⅰ）可知y=x，即當時，
當時，即當時，由（Ⅰ）可知
為求函數(shù)的定義域，須對進行討論
當時，
當時，也趨向于無窮大。
綜上，當時，的定義域為
當時，的定義域為
（Ⅲ）證一：首先證明當，時，恒有成立。
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(i) 由（Ⅱ）知當n=1時，在上，
所以成立。
（ii)假設(shè)n=k時在上，恒有成立。
可得
在上，
所以也成立。
由(i)與(ii)知對所有自然數(shù)n在上都有成立
即時,恒有
其次,當,仿上述證明,可知當時,恒有成立.
故的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點。
證二：首先證明當，時，恒有成立。
對任意的，存在，使，此時有
又
即有成立
其次，當,仿上述證明,可知當時,恒有成立.
故的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點。
（24）（本小題滿分14分）
如圖，給出定點A（0）（）和直線B是直線上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C。求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關(guān)系。
B
C
O A x
解：依題意，記B（-1，），
則直線OA和OB的方程分別為
設(shè)點C（x,y）則有，
由OC平分∠BOA，知點C到OA、OB距離相等。根據(jù)點到直線所距離公式得
①
依題設(shè)，點C在直線AB上，故有
由得 ②
將②式代入①式得
整理得
若，則
若，則，∠BOA=，點C的坐標為（0，0）滿足上式
綜上得點C的軌跡方程為
(i)當時，軌跡方程化為 ③
此時，方程③表示拋物線弧段;
(ii)當時，軌跡方程化為
④
所以，當時，方程④表示橢圓弧段;
當時，方程④表示雙曲線一支的弧段。
一九九九年（文科）
（1）如圖,I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是，則 （ C ）
（A）（MP）S
（B）（MP）S
（C）（MP）
（D）（MP）
（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且對任意的，在B中和它對應(yīng)的元素是，則集合B中元素的個數(shù)是（ A ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（3）函數(shù)的反函數(shù)是，則等于（A） （B） （C） （D） （ A ）
（4）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則函數(shù)上 （ C ）
（A）是增函數(shù) （B）是減函數(shù)
（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M
（5）若是周期為的奇函數(shù)，則可以是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）曲線關(guān)于 （ B ）
（A）直線軸對稱 （B）直線軸對稱
（C）點中心對稱 （D）點中心對稱
（7）若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm。若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是 （ B ）
（A）cm （B）6cm （C）cm （D）cm
（8）若
的值為 （ A ）
（A）1 （B）-1 （C）0 （D）2
（9）直線截圓得的劣弧所對的圓心角為
（A） （B） （C） （D） （ C ）
E F
D C
A B
（10）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則多面體的體積為
（A） （B）5 （C）6 （D） （ D ）
（11）若 （ B ）
（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）
（12）如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，它們的側(cè)面積比為1:2，那么R= （ D ）
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）已知兩點M（1，）、N（-4，-），給出下列曲線方程：
① ② ③ ④
其中與直線有交點的所有曲線是 （ D ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
（14）某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤。根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有 （ C ）
（A）5種 （B）6種 （C）7種 （D）8種
（15）設(shè)橢圓的右焦點為F1，右準線為。若過F1且垂直于x軸的弦長等于點F1到的距離，則橢圓的離心率是__________
答：
（16）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟。為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共用______種（用數(shù)字作答）
答：12
（17）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是_______
答：
（18）是兩個不同平面，是平面之外的兩條不同直線，給出四個論斷：
① ② ③ ④
以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題：__________
答：，，或，，
（19）（本小題滿分10分）
解方程
解：設(shè)，則原方程化為
解得
因為，所以將舍去。
由得
所以
經(jīng)檢驗，為原方程的解。
（20）（本小題滿分12分）
數(shù)列的前n項和記為。已知求的值。
解：由
又由已知
于是
所以由
所以，數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列。
由此知數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列。
（21）（本小題滿分12分）
設(shè)復(fù)數(shù)求函數(shù)最大值以及對應(yīng)的值。
解:由
由得
故
當且僅當時,即時,上式取等號.
所以當時,函數(shù)取最大值
（22）（本小題滿分12分）
如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,點E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC與底面ABCD所成的角為450,AB=.
A1 B1
E
P
Q
D C
O
A B
（Ⅰ）求截面EAC的面積;
（Ⅱ）求異面直線A1B1與AC之間的距離;
（Ⅲ）求三棱錐B1-EAC的體積。
（Ⅰ）解：如圖，連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO�！叩酌鍭BCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，
∴∠EOD=450。DO=
故
（Ⅱ）解：由題設(shè)ABCD- A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，
A1A⊥AC。又A1A⊥A1B1，
∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線。
∵D1B∥面EAC，且面D1BD與面EAC交線為EO，∴D1B∥EO。
又O是DB的中點，∴E是D1D的中點，D1B=2EO=2。
∴D1D=
異面直線A1B1與AC間的距離為
（Ⅲ）解：連結(jié)D1B1�！逥1D=DB=，∴BDD1B1是正方形。
連結(jié)B1D交D1B于P，交EO與Q
∵B1D⊥D1B，EO∥D1B，∴B1D⊥EO。
又AC⊥EO，AC⊥ED�！郃C⊥面BDD1B1，∴B1D⊥AC，∴B1D⊥面EAC
∴B1Q是三棱錐B1-EAC的高。
由DQ=PQ，得B1Q=
所以三棱錐B1-EAC的體積是
三．解答題：本大題共6小題;共74分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。
右圖為一臺冷軋機的示意圖。冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出。
（Ⅰ）輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對軋輥的減薄率不超過問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？
（一對軋輥減薄率=）
（Ⅱ）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長均為1600mm。若第k對軋輥有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點間距為Lk。為了便于檢修，請計算L1、L2、L3并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）
軋輥序號k
1
2
3
4
疵點間距Lk(單位:mm)
1600
解：（Ⅰ）厚度為的帶鋼經(jīng)過減薄率均為的n對軋輥后厚度為
，為使輸出帶鋼的厚度不超過，冷軋機的軋輥數(shù)（以對為單位）應(yīng)滿足
即對上式兩端取對數(shù)得
因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對軋輥。
（Ⅱ）解一：第k對軋輥出口處疵點間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼的體積為
而在冷軋機出口處兩疵點間帶鋼的體積為
因?qū)挾认嗟龋也豢紤]損耗，由體積相等得
即由此得
L3=2000（mm）,L2=2500(mm),L1=3125(mm)
填表如下：
軋輥序號k
1
2
3
4
疵點間距Lk(單位:mm)
3125
2500
2000
1600
解二：第三對軋輥出口疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼的體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔�，�?/p>
所以，同理：
填表如下：
軋輥序號k
1
2
3
4
疵點間距Lk(單位:mm)
3125
2500
2000
1600
（24）（本小題滿分14分）
如圖，給出定點A（0）（）和直線B是直線上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C。求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關(guān)系。
B
C
O A x
解：依題意，記B（-1，），
則直線OA和OB的方程分別為
設(shè)點C（x,y）則有，
由OC平分∠BOA，知點C到OA、OB距離相等。根據(jù)點到直線所距離公式得
①
依題設(shè)，點C在直線AB上，故有
由得 ②
將②式代入①式得
整理得
若，則
若，則，∠BOA=，點C的坐標為（0，0）滿足上式
綜上得點C的軌跡方程為
，軌跡方程化為
③
由此知，當時，方程③表示橢圓弧段;
當時，方程③表示雙曲線一支的弧段。
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