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          2007年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（導(dǎo)數(shù)）

 (18) (安徽理  本小題滿分14分)

設(shè)a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

(20)(安徽文 本小題滿分14分)

設(shè)函數(shù)

　　f（x）=-cos²x-4tsincos+4t²+t²-3t+4,x∈R,

其中≤1，將f(x)的最小值記為g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表達(dá)式；

(Ⅱ)詩(shī)論g(t)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

19．（北京理 本小題共13分）

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為．

（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；

（II）求面積的最大值．

19．（共13分）

解：（I）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，

解得

　，

其定義域?yàn)?sub>．

（II）記，

則．

令，得．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的最大值．

因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為．

即梯形面積的最大值為．

9．(北京文)是的導(dǎo)函數(shù)，則的值是            3            ．

11．（福建理、文）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（  B  ）

A．                 B．

C．                 D．

22．（福建理 本小題滿分14分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．

22．本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．滿分14分．

解：（Ⅰ）由得，所以．

       由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，

       由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．

       （Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．

       于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立．

       由得．

       ①當(dāng)時(shí)，．

       此時(shí)在上單調(diào)遞增．

       故，符合題意．

       ②當(dāng)時(shí)，．

       當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（Ⅲ），

，

，

由此得，

故．

20．（福建文 本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

20．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．滿分12分．

解：（Ⅰ），

當(dāng)時(shí)，取最小值，

即．

（Ⅱ）令，

由得，（不合題意，舍去）．

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

遞增

極大值

遞減

在內(nèi)有最大值．

在內(nèi)恒成立等價(jià)于在內(nèi)恒成立，

即等價(jià)于，

所以的取值范圍為．

20．(廣東理、文 本小題滿分14分)

已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)．如果函數(shù)在區(qū)間上有

零點(diǎn)，求的取值范圍．

20解: 若 ,  ,顯然在上沒有零點(diǎn), 所以 

         令      得 

        當(dāng) 時(shí),  恰有一個(gè)零點(diǎn)在上;

        當(dāng)   即    時(shí), 也恰有一個(gè)零點(diǎn)在上;

當(dāng)  在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí), 則

              或

解得或

因此的取值范圍是   或   ;

12．（廣東文）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是           ．

 12.  

10．（海南理）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（　　）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．        Ｄ．

21．（海南理 本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)

（I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；

（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

21．解：

（Ⅰ），

依題意有，故．

從而．

的定義域?yàn)?sub>，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．

（Ⅱ）的定義域?yàn)?sub>，．

方程的判別式．

（?）若，即，在的定義域內(nèi)，故的極值．

（?）若，則或．

若，，．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)極值．

若，，，也無(wú)極值．

（?）若，即或，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，．

當(dāng)時(shí)，，從而有的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，故無(wú)極值．

當(dāng)時(shí)，，，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知在取得極值．

綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為．

的極值之和為

．

10．（海南文）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（　�。�

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．          Ｄ．

19．（海南文 本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）求在區(qū)間的最大值和最小值．

19．解：的定義域?yàn)?sub>．

（Ⅰ）．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

從而，分別在區(qū)間，單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在區(qū)間的最小值為．

又．

所以在區(qū)間的最大值為．

20．（湖北理 本小題滿分13分）

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求證：（）．

20．本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．于是

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

于是在的最大值為．

（Ⅱ）設(shè)，

則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

于是函數(shù)在上的最小值是．

故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，．

13．（湖北文）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則＿＿＿＿．

19．（湖北文 本小題滿分12分）

設(shè)二次函數(shù)，方程的兩根和滿足．

（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（II）試比較與的大�。�并說(shuō)明理由．

19．本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法，考查推理和運(yùn)算能力．

解法1：（Ⅰ）令，

則由題意可得．

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（II），令．

當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，

，即．

解法2：（I）同解法1．

（II），由（I）知，

．又于是

，

即，故．

解法3：（I）方程，由韋達(dá)定理得

，，于是

．

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（II）依題意可設(shè)，則由，得

，故．

13．（湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是        ．

19．（湖南理 本小題滿分12分）

如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路，