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    湖南省長(zhǎng)沙市一中2009年高三第二次模擬試卷
    理科數(shù)學(xué)
    命題：長(zhǎng)沙市一中高三理科備課組
    時(shí)量：120分鐘 滿(mǎn)分：150分 
    一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
    1．設(shè)a + bi=(a，b∈R)，則P(a，b)在（    ）
    A．第一象限               B．第二象限                C．第三象限               D．第四象限
    

    試題詳情
    

    2．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果～N(2，)(＞0)，若在(0，2)內(nèi)取值的概率為0.4，則 在(0，4)內(nèi)的概率為（  
）
    

    試題詳情
    

    A．0.8                        B．0.4                         C．0.3                        D．0.2
    

    試題詳情
    

    3．已知函數(shù)在R上可導(dǎo)，且=           （    ）
    

    試題詳情
    

        A．                       B．                          C．－3                       D．3
    

    試題詳情
    

    4．等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，，則的值為（    ）
    

    試題詳情
    

    A．2                           B．1                            C．                          D．3
    

    試題詳情
    

    5．能夠使圓恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)距離等于1的c的
    一個(gè)值為                                                       
（    ）
    

    試題詳情
    

    A．                            B．               　　C．2                    　　　D．3
    

    試題詳情
    

    6．函數(shù)y = f (x)是圓心在原點(diǎn)的單位圓的兩段圓弧（如圖），則不等式f(x)＞f (?x) + x的解集為（    ）
    

    試題詳情
    

    A．{x|或}                 
    

    試題詳情
    

    B．{x|或}
    

    試題詳情
    

    C．{x|或}                     
    

    試題詳情
    

    D．{x|且x≠0}
    

    試題詳情
    

    7．在直角坐標(biāo)平面上，=（1，4），=（?3，1）且與在直線(xiàn)l上的射影長(zhǎng)度相等，直線(xiàn)l的傾斜角為銳角，則l的斜率為（    ）
    

    試題詳情
    

    A．                          B．                          C．                          D．
    

    試題詳情
    

    8．f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)；不等式f
(ax + 1)≤f (x ?2)對(duì)x∈[，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）
    A．[?2，0]                 B．[?5，0]                  C．[?5，1]                D．[?2，1]
    

    試題詳情
    

    二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分.把答案填寫(xiě)在答題卷中對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線(xiàn)上）
    9．展開(kāi)式中x3的系數(shù)為           
．
    

    試題詳情
    

    10．為配制某種染色劑，需要加入三種有機(jī)染料，兩種無(wú)機(jī)染料和兩種添加劑，其中有機(jī)染料的添加順序不能相鄰，現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)θ旧Ч挠绊懀偣惨M(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為          
（用數(shù)字作答）
    

    試題詳情
    

    11．當(dāng)x、y滿(mǎn)足約束條件（k為常數(shù)）時(shí)，能使z = x +
3y的最大值為12的k值為        
．
    

    試題詳情
    

    12．已知拋物線(xiàn)y2 = 16x，橢圓，則兩曲線(xiàn)有公共點(diǎn)時(shí)a的最小值為        
．
    

    試題詳情
    

    13．如圖，正△ABC的中線(xiàn)AF與中位線(xiàn)DE相交于點(diǎn)G，已知△A′ED是△AED繞邊DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：
    ①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線(xiàn)段AF上；
    ②恒有平面A′GF⊥平面BCED；
    ③三棱錐A′―FED的體積有最大值；
    ④異面直線(xiàn)A′E與BD不可能垂直．
    其中正確命題的序號(hào)是              
．
    

    試題詳情
    

    14．對(duì)于實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[]=
3，[?1.08] = ?2，定義函數(shù)f(x) = x
?[x]．
    （i）f(x) 的值域是  　　　 ；
    

    試題詳情
    

    （ii）的最小正周期為　　　　　　．
    

    試題詳情
    

    15．如圖所示，一個(gè)粒子在第一象限及坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(0，1)，然后它接著按圖所示在x軸、y軸的平行方向來(lái)回運(yùn)動(dòng)（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…）且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度．（i）粒子運(yùn)動(dòng)到（4，4）點(diǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)了      秒；（ii）第2009秒時(shí)，粒子所處的位置為            
．
    

    試題詳情
    

           
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
    16．某人隨機(jī)地將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)大小相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)型號(hào)相同的盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)球，當(dāng)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同時(shí)叫做“放法恰當(dāng)”，否則叫做“放法不恰當(dāng)”．設(shè)放法恰當(dāng)?shù)那闆r數(shù)為隨即變量．
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）求的分布列；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）求的期望與方差．
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    17．已知向量，向量， 
    

    試題詳情
    

    (Ⅰ)若，且，求實(shí)數(shù)的最小值及相應(yīng)的值；
    

    試題詳情
    

    (Ⅱ)若，且, 求  的值.
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    18．如圖，在邊長(zhǎng)為12的正方形A1 AA′A1′中，點(diǎn)B、C在線(xiàn)段AA′上，且AB = 3，BC = 4，作BB1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點(diǎn)B1、P；作CC1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點(diǎn)C1、Q；將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A1′
與AA1重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱ABC―A1B1C1，在三棱柱ABC―A1B1C1中，
    （Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC1B1；
    （Ⅱ）求面PQA與面ABC所成的銳二面角的大小．
    

    試題詳情
    

    （Ⅲ）求面APQ將三棱柱ABC―A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比．
    

    試題詳情
    

    


    
 
    
  
  
  
  
 
    
 
    
  
  
  
 
    
 
    
  
  
 
    
 
    
  
 
    

    

 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    19．據(jù)中新網(wǎng)2009年4月9日電，日本鹿兒島縣櫻島昭和火山口當(dāng)?shù)貢r(shí)間9日下午3點(diǎn)31分發(fā)生中等規(guī)模爆發(fā)性噴火，鹿兒島市及周邊飛揚(yáng)了大量火山灰．火山噴發(fā)停止后，為測(cè)量的需要距離噴口中心50米內(nèi)的圓環(huán)面為第1區(qū)、50米至100米的圓環(huán)面為第2區(qū)、100米至150米的圓環(huán)面為第3區(qū)、……、第50（n－1）米至50n米的圓環(huán)面為第n區(qū)，……，現(xiàn)測(cè)得第1區(qū)火山灰平均每平方米為1噸、第2區(qū)每平方米的平均重量較第1區(qū)減少2%、第3區(qū)較第2區(qū)又減少2%，……，以此類(lèi)推．
    （Ⅰ）若第n區(qū)每平方米的重量為an千克，請(qǐng)寫(xiě)出an的表達(dá)式；
    （Ⅱ）第幾區(qū)內(nèi)的火山灰總重量最大？
    （Ⅲ）該火山這次噴發(fā)出的火山灰的總重量為多少萬(wàn)噸（p 取3，結(jié)果精確到萬(wàn)噸）？
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    20．如圖所示，F(xiàn)1、F2是雙曲線(xiàn)x2 ? y2 = 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F­1F2為直徑的圓，直線(xiàn)l：y = kx
+ b與圓O相切，并與雙曲線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)．
    （Ⅰ）根據(jù)條件求出b和k的關(guān)系式；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）當(dāng)，且滿(mǎn)足2≤m≤4時(shí)，求△AOB面積的取值范圍．
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    21．設(shè)函數(shù)f (x) =(b，c∈N*)，若方程f(x) = x的解為0，2，且f (?2)＜?．
    （Ⅰ）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿(mǎn)足4Sn?f ()
= 1，其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和．
    

    試題詳情
    

    求證：．
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    一、選擇題
    題號(hào)
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    D
    A
    C
    B
    D
    C
    C
    A
    4．【解析】{an}為等差數(shù)列，則{}也為等差數(shù)列且其公差d
= 1,
    ∴，∴=．
    5．【解析】圓方程可化為，則圓心到直線(xiàn)的距離，當(dāng)1＜d＜3時(shí)，則圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于1，＜|c|＜，故選D.
    6．【解析】y
= f(x)是奇函數(shù)，由f(x)＞f (?x) + x得f(x)＞，數(shù)形結(jié)合．
    7．【解析】設(shè)l過(guò)原點(diǎn)，取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M(?1，)，則OM⊥l，∴kl =．
    8．【解析】∵f(x)是偶函數(shù)且f(x)在[0，+∞)是增函數(shù)
    ∴|ax + 1|≤|x ?2|恒成立，x∈[，1]．
    ∴x ? 2≤ax + 1≤2 ? x
    即．
     
    二、填空題
    9．【解析】，令有r = 2，∴．
    10．【解析】= 1440．
    11．       【解析】求出交點(diǎn)代入求出k并驗(yàn)證得k = ?9．
    12．【解析】易求：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F(4，0)，準(zhǔn)線(xiàn)L：x = ? 4．橢圓焦點(diǎn)F(4，0)、 F′(4，4)，如圖所示．
    所以F為兩曲線(xiàn)之公共焦點(diǎn)．
    設(shè)兩曲線(xiàn)交于點(diǎn)A，則
    所以當(dāng)H、A、F′共線(xiàn)時(shí)，2a有最小值，從而a也達(dá)到最小，此時(shí)，yA = yF
= 4，代入y2 = 16x 得xA = 1，再以A(1，4)代入橢圓得：a2 = 16，從而a = 4．
    13．【解析】①在平面A′FA內(nèi)過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥AF，垂足為H，由DE⊥AF，DE⊥A′G知DE⊥平面A′GA．故DE⊥A′H，∴A′H⊥平面ABC，即A′在平面ABC上的射影在線(xiàn)段AF上．
    ②由①得；
    ③由①知：當(dāng)A′H與A′G重合時(shí)，三棱錐A′―FED的體積有最大值；
    ④用反證法：假設(shè)A′E與BD垂直，由①知A′H⊥BD，∴BD⊥面A′HE，EH⊥BD．
    ∴當(dāng)EH⊥BD時(shí)，可證A′E⊥BD．
    故①②③正確．
    14．【解析】當(dāng)n≤x＜n + 1(n∈Z)時(shí)，y = f(x)
= x ? n，
    顯然有0≤x ? n＜1，即0≤y＜1，
    也有f(x+ 1) }= x + 1 ? [x + 1] = x + 1? ([x] + 1) = x ? [x] = f(x)．如圖．
        答案為：［0，1）；1
    15．【解析】（i）20；
    （ii）將粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡定義為數(shù)對(duì)（i，j）
    則它的運(yùn)動(dòng)整點(diǎn)可排成數(shù)表
    （0，0）
    （0，1） （1，1） （1，0）
    （0，0） （2，1） （2，2） （1，2） （0，2）
    （0，3） （1，3） （2，3） （3，3） （3，2） （3，1） （3，0）
    （4，0） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （3，4） （2，4） （1，4）（0，4）
    通過(guò)推并可知：經(jīng)過(guò)2 = 1×2s，運(yùn)動(dòng)到（1，1）
    經(jīng)過(guò)6 =2×3s，運(yùn)動(dòng)到（2，2）
    經(jīng)過(guò)12 =3×4s，運(yùn)動(dòng)到（3，3）
    ∴經(jīng)過(guò)44×45 = 1980s，運(yùn)動(dòng)到（44，44）
           再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)29s，到達(dá)點(diǎn)（15，44）．
    三、解答題
    16．【解析】（1）= 0，1，2，4．                                           
（1分）
    P(=
4) =
    P(=
2) =
    P(=
1) =
    P(=
0) = 1?P(=
1) ?P(=
2) ?P(=
4) =                             
（7分）
    ∴的分布列為
    0
    1
    2
    4
    P
                                                                       
（9分）
    ∴E=，
    D=
(0 ? 1)2×+ (1 ? 1)2×+(2 ? 1)2×+(4 ? 1)2×= 1              
（12分）
    17．【解析】（Ⅰ）∵，∴= 0，              
（2分）
    ∴，                                   
（4分）
    又∵∈R，∴時(shí)，mmin = ?2. 
    又，所以                                            
（6分）
    （Ⅱ）∵，且,∴                          
（8分）
    ∴
    ∴                       
  （10分）
                                                  （12分）
    18．【解析】（Ⅰ）∵AB
= 3，BC
= 4，∴AC
= 5
    ∵AC2 = AB2
+ BC2
    ∴AB⊥BC
    又AB⊥BB1
    且BC∩BB1 = B
    ∴AB⊥面BCC1B1                                                    
（4分）
    （Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系
    則A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)
    設(shè)面APQ的法向量為= (x，y，z)
    = (1，?1，1)
    而面ABC的法向量可以取= (0，0，1)
    ∴
    ∴面PQA與面ABC所成的銳二面角為arccos．                       
（8分）
    （Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．
    ∴S四邊形BCQP
=
    ∴VA―BCQP
=×20×3 = 20
    又∵V=．
    ∴．                                            
（12分）
    19．【解析】（Ⅰ）（）．　　　　（2分）
    （Ⅱ）設(shè)第n區(qū)內(nèi)的面積為bn平方米，
    則 ．　　　　　　　　　　　　　　（4分）
    則第n區(qū)內(nèi)火山灰的總重量為
    （噸）（萬(wàn)噸）　　�。�6分）
    設(shè)第n區(qū)火山灰總重量最大，則
    解得  
∴n =50.
    即得第50區(qū)火山灰的總重量最大.                                          
（9分）
    （Ⅲ）設(shè)火山噴發(fā)的火山區(qū)灰總重量為S萬(wàn)噸，
    則
    設(shè)
    則  
①
    ∴ ②
    ①－②得
    ∴                              
（12分）
    ∵0＜q＜1，∴（萬(wàn)噸）
    因此該火山這次噴發(fā)出的火山灰的總重量約為3712萬(wàn)噸．                    
（13分）
    20．【解析】（Ⅰ）因?yàn)閳AO的方程為x2 + y2
= 2，所以d
=，
    可得b2 = 2(k2
+ 1)(k≠±1)．                                          
（4分）
    （Ⅱ）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
    由，
    所以，                                           
     （7分）
    所以=
    =，
    因?yàn)閨AB| =×=，
    O到AB的距離，                                        
（11分）
      所以
    =∈．                                   
（13分）
    21．（Ⅰ）【解析】
    ．              
　　　　�。�2分）
    由f (?2) =
    又∵b，c∈N*    ∴c = 2，b = 2
    ∴f (x) =．                        
                       （4分）
    令f′(x)＞0得：x＜0或x＞2
    令f′(x)＜0得：0＜x＜2
    ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（?∞，0），（2，+∞）
    f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（1，2）．                                
（6分）
    （Ⅱ）證明：由已知可得：2Sn = an ? ， 
    兩式相減得：(an + an ? 1) (an ? an ? 1+1) = 0 （n≥2）
    ∴an = ?an
?1或an ?an?1
= ?1                                             （7分）
    當(dāng)n =1 時(shí)，2a1 = a1 ?
    若an = ?an?1，則a2 = ?a1
= 1與an≠1矛盾．
    （定義域要求an≠1）
    ∴an ? an?1
= 1，∴an = ?n．                                            
（8分）
    要證的不等式轉(zhuǎn)化為
    先證不等式
    令g (x) = x ?ln(1 + x)，h(x) = ln(x +1) ?                                （10分）
    則g′(x) =，h′(x) =
    ∵x＞0   ∴g′(x)＞0，h′(x)＞0
    ∴g (x)， h(x)在（0，+∞）上
    ∴g (x)＞g (0) = 0，h(x)＞h(0) = 0                                       
（12分）
    ∴
    故，即．                        
（13分）
     
     
    
				
    
	
    
		
    


    同步練習(xí)冊(cè)答案