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高考數(shù)學(xué)專題―數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)形結(jié)合法

數(shù)與形的結(jié)合，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)概念與形象、表象與聯(lián)系的轉(zhuǎn)化，化難為易，是數(shù)學(xué)解題的重要思想方法之一。進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換主要有三個(gè)途徑：一是通過坐標(biāo)系的建立，引 入?yún)⒆兞�，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解；例如：解不等式：，

可設(shè)，則平面上軌跡雙曲線上坐標(biāo)的取值范圍即為原不等式的解；二是轉(zhuǎn)化，例如將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與的距離；將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與的直線斜率；三是構(gòu)造，即可構(gòu)造幾何模型、構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造一個(gè)圖形，例如求的值，可以構(gòu)造一個(gè)頂角為的等腰三角形，利用相似形性質(zhì)算出。

第一講

[要求與考點(diǎn)]  理解和掌握數(shù)形結(jié)合法在函數(shù)、方程、最值中的應(yīng)用。

例1、       函數(shù)的最大、最小值。

分析：可以看成是點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)

連線的斜率。在圓上，斜率的最大、最小

值由過點(diǎn)的圓的兩條切線所決定。如圖

解：設(shè)的斜率為，則為：

即。

∵點(diǎn)到的距離，

故

解得：

即

說明：凡形如的代數(shù)式，一般都可看作點(diǎn)和點(diǎn)的連線的斜率，本題也可以用萬能公式代換后，利用判別式求解，但運(yùn)較繁。用判別式法須注變量范圍的變化。

例2、求函數(shù)的值域。

分析：原函數(shù)在令后可以化為的范圍可看著是當(dāng)直線與四分之一圓有交點(diǎn)時(shí)，直線在縱軸上的截距的范圍，如圖。

[分析]原函數(shù)在令后可化為

，的范圍可

看作是當(dāng)直線與四分之一圓

有交點(diǎn)時(shí)，直線在縱軸上的截

距的范圍，如圖；

解：令，原函數(shù)變?yōu)?/p>

∴

引入變量，得：

∵ 直線的斜率為，過四分之一圓上點(diǎn)時(shí)，

截距，直線與四分之一圓相切時(shí)，，

∴ 截距

∴

說明：仿照本例可解決形如或的函數(shù)的值域問題。

本例也可在寫成后，把點(diǎn)看成是既在直線上，又在圓上，聯(lián)立方程組即可求得的取值

范圍。

例3、已知函數(shù)在上有最小值1，求實(shí)數(shù)的值；

[分析]函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，對稱軸是，應(yīng)就其對稱軸是否在上加以討論。

解：∵是以為對稱軸，開口向上的拋物線；

當(dāng)時(shí)，在上的最小值是，如圖1，解得：

當(dāng)時(shí)，的最小值是，如圖2，解得

當(dāng)時(shí)，應(yīng)是如圖3 , 在上的最小值是，但此方程無解，∴這種情況不存在。

             圖1                        圖2                    圖3

例4、方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

[分析]  原方程的解可以看作函數(shù)

與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)

的圖象由 

(半圓)和 (等軸雙曲線

在軸上半部份)的圖象構(gòu)成,如圖可知:

當(dāng)或,時(shí),此二函數(shù)的

圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

例5、設(shè)是以為直徑的單位圓上半圓周上的任意一點(diǎn)，于求的最大值；

[分析] 以圓心為原點(diǎn)，直徑所在直線為軸

建立坐標(biāo)系，如圖；則半圓方程為：

，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，

則

所以，

令 ，則 ，且，

∴

∴當(dāng)時(shí)，有最大值 

法2、如圖，設(shè)，，

∵ 為直徑，∴，且，

∴ ，，，

所以

（以下求解同法一）

練      習(xí)

1、已知實(shí)數(shù)滿足，則

（1）的取值范圍是                 ；

（2）的取值范圍是                 ；

（3）的取值范圍是                 ；

2、函數(shù)的最大值是                 ；

3、拋物線弦垂直于軸，若弦長為，則焦點(diǎn)到弦的距離為       ；

4、如果實(shí)數(shù)滿足求的最大最小值；

5、求函數(shù)的值域；

6、為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程有且僅有一個(gè)實(shí)根；

數(shù)形結(jié)合法    第二講

[要求與考點(diǎn)] 理解和掌握數(shù)形結(jié)合法在解不等式，不等式的證明、集合，復(fù)數(shù)等問題中的應(yīng)用。

例1、       解不等式，

[分析] 由于不等式中含參數(shù)和絕對值，對解的討論將十分困難，若用數(shù)形結(jié)合法可較易地解決這一問題。

解：令   

當(dāng)時(shí)，兩曲線

交于四點(diǎn)，如圖1

它們的橫坐標(biāo)分別為，                             圖1

故解集為

當(dāng)時(shí)，兩曲線交于三點(diǎn)，如圖2，

故解集為

當(dāng)時(shí)，，兩曲線交于兩點(diǎn)，如圖3

故解集為

                  圖2                                         圖3

例2、已知，且，，求證：

[分析]不等式的左端可看著點(diǎn)和點(diǎn)

間的距離間的平方，點(diǎn)在直線

上，點(diǎn)在直線上，如圖，

顯然，平行直線上任意兩點(diǎn)的距離大于或等于

這兩平行線間的距離

說明：凡形如的等式皆可視為點(diǎn)在直線上，若則可用基本不等式證明即；

例3、已知，求證：

[分析]  與余弦定理很相似，可視為，即三角形中夾角的第三邊長，原不等式的左端可看作是圖中周長，由正弦定理有：

中，                                                     C

∴，  A                    B

同樣可以得另外兩式，三式相加即可。

   說明：還可以看作，它表示兩點(diǎn)，

間的距離，也可以看成復(fù)數(shù)的模；本題用復(fù)數(shù)法證明更為簡捷。

例4、已知，，求證：

[分析]原不等式左端與距離公式的平方很相似，變化為，相當(dāng)于證明點(diǎn)與點(diǎn)間的距離平方大于8，顯然點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在等軸雙曲線上，如圖

證明：設(shè)是上任意一點(diǎn)，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，到原點(diǎn)取最近距離，

∴在直線上，直線交圓于點(diǎn)，

為兩曲線

間最近距離，故有，原式成立；

例5、已知，且，求當(dāng)為何值時(shí)，有最大值；

[分析] 設(shè)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)為，

的

幾何意義是點(diǎn)到和

連線的夾角；的

幾何意義是到兩點(diǎn)、

距離相等的點(diǎn)的軌跡，即直線.

問題轉(zhuǎn)化為在上求一點(diǎn)，使它與

和連線的夾角最大，如圖，

過、和相切的較小圓的切點(diǎn)即為所求；

略解：、兩點(diǎn)的垂直平分線方程為，

設(shè)圓心為，則，解得：

，，其較小圓的圓心為，半徑為 ；

設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵ 得：

故切點(diǎn)為，所求復(fù)數(shù)為。

說明：本題充分利用了圖形的幾何性質(zhì)，避免了復(fù)雜的計(jì)算。

[本節(jié)評注] 數(shù)形結(jié)合法思想在解題中的應(yīng)用關(guān)鍵是：一要多類比，多聯(lián)想，將代數(shù)式通過轉(zhuǎn)化、變形，賦予它鮮明的幾何意義；二要挖掘已有圖形的幾何性質(zhì)，利用其性質(zhì)盡量簡化運(yùn)算或論證。

作  業(yè)

1、復(fù)數(shù)滿足，則的輻角主值的取值范圍是                      ；

2、解不等式；

3、已知，求復(fù)數(shù)為何值時(shí)，

（1）取最大值？最小值？

（2）取最大值？最小值？

4、已知均大于零，且，

求證：