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數(shù)學歸納法

基礎知識

數(shù)學歸納法是用于證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的正確性的一種嚴格的推理方法．在數(shù)學競賽中占有很重要的地位．

1．數(shù)學歸納法的基本形式

（1）第一數(shù)學歸納法

設是一個與正整數(shù)有關的命題，如果

①當（）時，成立；

②假設成立，由此推得時，也成立，那么，根據①②對一切正整數(shù)時，成立．

（2）第二數(shù)學歸納法

設是一個與正整數(shù)有關的命題，如果

①當（）時，成立；

②假設成立，由此推得時，也成立，那么，根據①②對一切正整數(shù)時，成立．

2．數(shù)學歸納法的其他形式

（1）跳躍數(shù)學歸納法

①當時，成立，

②假設時成立，由此推得時，也成立，那么，根據①②對一切正整數(shù)時，成立．

（2）反向數(shù)學歸納法

設是一個與正整數(shù)有關的命題，如果

①對無限多個正整數(shù)成立；

②假設時，命題成立，則當時命題也成立，那么根據①②對一切正整數(shù)時，成立．

3．應用數(shù)學歸納法的技巧

（1）起點前移：有些命題對一切大于等于1的正整數(shù)正整數(shù)都成立，但命題本身對也成立，而且驗證起來比驗證時容易，因此用驗證成立代替驗證，同理，其他起點也可以前移，只要前移的起點成立且容易驗證就可以．因而為了便于起步，有意前移起點．

（2）起點增多：有些命題在由向跨進時，需要經其他特殊情形作為基礎，此時往往需要補充驗證某些特殊情形，因此需要適當增多起點．

（3）加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當可以改變跨度，但注意起點也應相應增多．

（4）選擇合適的假設方式：歸納假設為一定要拘泥于“假設時命題成立”不可，需要根據題意采取第一、第二、跳躍、反向數(shù)學歸納法中的某一形式，靈活選擇使用．

（5）變換命題：有些命題在用數(shù)學歸納證明時，需要引進一個輔助命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強命題才能滿足歸納的需要，才能順利進行證明．

5．歸納、猜想和證明

在數(shù)學中經常通過特例或根據一部分對象得出的結論可能是正確的，也可能是錯誤的，這種不嚴格的推理方法稱為不完全歸納法．不完全歸納法得出的結論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進一步檢驗或證明，經常采用數(shù)學歸納法證明．不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題極好的方法．

例題分析

例1．用數(shù)學歸納法證明：

（）

例2．已知對任意，，且，求證：．

例3．如果正整數(shù)不是6的倍數(shù)，則不是7的倍數(shù)．

例4．設都是正數(shù)，證明．

例5．已知函數(shù)的定義域為，對于區(qū)間內的任意兩數(shù)均有．求證：對于任意，均有

．

例6試證：對一切大于等于1的自然數(shù)都有

．

例7試證：對一切自然數(shù)（）都有．

例8．證明：任一正方形可以剖分成任意個數(shù)多于5個的正方形．

例9．設，，，求證：對一切均有

例10．已知，，求證：對一切，都是整數(shù)．

例11．設，是否存在關于正整數(shù)的函數(shù)使等式對于的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結論．

例12．設整數(shù)數(shù)列滿足，，，且．證明：任意正整數(shù)，是一個整數(shù)的平方．

例13．設為正數(shù)（），證明：．

例14．已知，（），求證：．

例15．整數(shù)列（）滿足，且有．求證：時，是奇數(shù)．

訓練題

1．證明時，能被31整除．

2．設不小于6的自然數(shù)，證明：可以將一個正三角形分成個較小的正三角形．

3．用數(shù)學歸納法證明：

4．設為自然數(shù)，求證：．

5．對于自然數(shù)（），求證：．

6．已知，，求證：對于一切，是整數(shù)．

7．設有個球分成了許多堆，我們可以任意選甲、乙兩堆來按照以下規(guī)則挪動：若甲戴盆望天的球數(shù)不小于乙堆的球數(shù)，則從甲堆拿個球放堆乙堆，這樣算是挪動一次．證明：可以經過有限次挪動把所有的球合并成一堆．

8．已知數(shù)列滿足：，，（），試證：．