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    高考數(shù)學(xué)專題―數(shù)學(xué)思想方法3
    換元法及待定系數(shù)法
     
    解數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過一個(gè)或幾個(gè)新變量代替原來(lái)的變量，使得代換后的問題中僅含這些新變量的方法稱之為換元法。用這種方法解題的目的是變量研究，其實(shí)質(zhì)是移問題至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的。
    待定系數(shù)法的實(shí)質(zhì)是方程的思想，把待定的未知數(shù)與已知數(shù)等同看待列式即得方程。
     
    第一講  換元法
    例1、已知，求的最值。
    分析：請(qǐng)看下面解法：
    ∵ ，
    ∴ 
    得 的最大值為21，無(wú)最小值。
    思考：上面解法是否正確？
     
    正確解法：
    解：由題意得：
    故可設(shè) ，
                 

    ∵ 
    ∴當(dāng)時(shí)，有最大值 ；
      當(dāng)時(shí)，有最小值 ；
     
     
    例2、已知，求的最值；
     解：可化為：
            

            
即 
            
設(shè)
            
∴ 
    ∵
    ∴當(dāng) 時(shí)，有最大值25；
    當(dāng) 時(shí)，在最小值 ；
     
    例3、已知，，，求的值。
    [分析] 此題條件中，的含義是，
    ，顯然，按此遞推公式求出，計(jì)算量較大，仔細(xì)觀察條件中，的形式與正切的倍角公式相近。由此可得解法。
    解：設(shè) ，
    ∵ 
    ∴ 
    ┄┄┄┄┄
     
     
    例4、在曲線：上求一點(diǎn)，使它到直線的距離取最小值。
    解： ∵ 
    設(shè)  ， 
    則 
    又設(shè)
    則點(diǎn)在曲線上，到直線的距離為
    ∵ ，∴ 
    ∴  ，
    ∴ 當(dāng)時(shí)，有最小值2 ；
    由及，得
     
    ∴ 當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為 時(shí)， 到直線的距離最小，最小值為2 ；
     
     
    例5、已知集合，，
    求集合；
    解：令，
      則可設(shè)，，
      ∴ 
    ，
    關(guān)于的二次方程有實(shí)根的充要條件是
    又∵ 
           
    ∴ 
    ∵ 
    ∴ 
    解得；， ， ，
    ∴ 原方程為
    ∴ 
    ∴ 所求集合

     
     
     
    練    習(xí)
    1、已知，那么的值域是                     ；
     
    2、設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是                        
 ；
     
    3、設(shè)，求函數(shù)的最小值；
     
     
     
     
     
     
     
    4、設(shè)，求證：，；
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    5、已知，且，求的最大值與最小值；
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    第二講 待定系數(shù)法
     
    例1、已知方程有一個(gè)根是解這個(gè)方程；
    [分析] 根據(jù)實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)原理，必有另一個(gè)根是，故方程等價(jià)于
     ，其中待定，求出后就可求同另二個(gè)根。
    解： 設(shè) 
       令得,   令得；
       ∴,解得：，
      
∴原方程的根為。
     
    例2、已知一個(gè)共100項(xiàng)的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，
         若，求所有適合等式的值的和；
    [分析] 中含有兩個(gè)字母，直覺告訴我們，去確定之值，是解題中重要的環(huán)節(jié)。
    解： ∵ 
    又 是等比數(shù)列，
    ∴ ，又由知，
    ∴  ， ，
    又 ， 
    由得：
    ∴ ，
    ∴ 
    ∴ ，
    ∴ 
     
     
     
     
    例3、曲線：的圖象與曲線：的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的值；
    解：設(shè)是上任意一點(diǎn)，是關(guān)于對(duì)稱的上的點(diǎn)，
    則有
     ，
    ∴ ，
    即          ①
    ①與應(yīng)為同一方程，
    即 
    比較系數(shù)得。
     
     
    例4、設(shè)為常數(shù)，，，且方程有等根，
    求之值；
    若，求使成立的值；
    解：由得 , 即 ，
    又  ，故  ，
    因此  或 
    方程有等根   ，故 ；
     ∵  ，
    又  ，
    ∴且 ，
    因此，將與代入得。
     
     
     
     
     
    練 習(xí)
    1、已知無(wú)窮等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則所有項(xiàng)和等于  
    A、        B、    1       C、          D、  任意實(shí)數(shù)
     
     
     
     
    2、滿足< 500的的最大正整數(shù)是 
    A、  4        
B、    5       C、   6        D、  7
     
     
     
     
    3、在直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)、，點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則的值為 
    A、        B、          C、    1       D、   不能確定
     
     
     
     
    4、如果恒等式成立，則         
 ；        ；
     
     
     
     
    5、若方程的圖象是兩條直線，則               
 ；
     
     
     
     
    6、函數(shù)的最大值為，最小值為，則的周期是                                       ；
     
     
     
     
     
    7、已知函數(shù)的最大值為7，最小值為，求此函數(shù)的解析式；
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    8、已知拋物線，對(duì)任意實(shí)數(shù)均過定點(diǎn)，  求實(shí)數(shù)之值；  求拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最大值；
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    
				
    
	
    
		
    


    同步練習(xí)冊(cè)答案