一元二次方程專題復(fù)習(xí)（一）
【課標(biāo)要求】
1. 了解一元二次方程的定義及一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).
2. 掌握一元二次方程的四種解法，并能靈活運用.
3. 掌握一元二次方程根的判別式，并能運用它解相應(yīng)問題.
4. 掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，會用它們解決有關(guān)問題.
5. 會解一元二次方程應(yīng)用題.
【知識梳理】
1．靈活運用四種解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)
四種解法：直接開平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：
x=
(b2
注意：掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo)；主要數(shù)學(xué)方法有：配方法，換元法，“消元”與“降次”。
2．根的判別式及應(yīng)用(△=b2
(1)判定一元二次方程根的情況。
(2)確定字母的值或取值范圍。
3．根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)的應(yīng)用：韋達定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2，則x1+x2=―
，x1?x2=
。
(1)已知一根求另一根及未知系數(shù)；
(2)求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值；
(3)已知兩根求作方程；
(4)已知兩數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)；
(5)確定根的符號:(x1，x2是方程兩根)。
應(yīng)用韋達定理時，要確保一元二次方程有根，即一定要判斷根的判別式是否非負;求作一元二次方程時，一般把求作方程的二次項系數(shù)設(shè)為1，即以x1、x2為根的一元二次方程為x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母系數(shù)的值時，需使二次項系數(shù)a≠0，同時滿足△≥0;求代數(shù)式的值，常用整體思想，把所求代數(shù)式變形成為含有兩根之和x1+x2，兩根之積x1x2的代數(shù)式的形式，整體代入。
4．一元二次方程的應(yīng)用：解應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程。最后還要注意求出的未知數(shù)的值，是否符合實際意義。
【中考主要考點】
①利用一元二次方程的意義解決問題
②用整體思想對復(fù)雜的高次方程或分式方程進行變形（換元法）
③考查配方法（主要結(jié)合函數(shù)的頂點式來研究）
④一元二次方程的解法
⑤一元二次方程根的近似值
⑥建立一元二次方程模型解決問題
⑦利用根的判別式求方程中的字母系數(shù)的值和利用根與系數(shù)關(guān)系求代數(shù)式的值
⑧與一元二次方程相關(guān)的探索或說理題
⑨與其他知識結(jié)合，綜合解決問題
一元二次方程的定義、解法
Ø 要點、考點聚焦
1. 加深理解一元二次方程的有關(guān)概念及一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)
2.熟練地應(yīng)用不同的方法解方程；直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法；并體會“降冪法”在解方程中的含義.（其中配方法很重要）
Ø 課前熱身
1. 當(dāng)a__________時，方程ax2＋3x＋1＝0是一元二次方程.
2. 已知x=1是方程x2+ax+2=0的一個根，則方程的另一根為__________.
3.一元二次方程x(x-1)=x的解是_____________.
4. 若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，且a+b+c=0，則方程必有一根為_______.
5. 用配方法解方程x2-4x+2=0,則下列配方正確的是( )
A (x-2)2=2 B (x+2)2=
Ø 典型例題解析
1、關(guān)于x的一元二次方程(ax－1)(ax－2) ＝x2－2x＋6中，求a的取值范圍___________.
2、已知：關(guān)于x的方程x2－6x＋m2－
3、用配方法解方程2x2-x-1=0
【課時訓(xùn)練】
1、關(guān)于
的一元二次方程
的一個根是0，則
的值為（ ）
A、
B、
C、或
D、
2、解方程
的最適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?nbsp; ）
A. 直接開平方法 B. 配方法 C. 因式分解法 D. 公式法
3、若a－b＋c＝0，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
4、k____________時，(k2－9)x2＋(k－5)x－3＝0不是關(guān)于x的一元二次方程.
5、已知方程
，則代數(shù)式
_________.
6、解下列方程：
（1）(x－1)2＝4 (2)x2－2x－3＝0 (3)2t2－7t－4＝0（用配方法）
一元二次方程根的判別式
Ø 要點、考點聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情況：
(1)當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；
(3)當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根.
2.一元二次方程根的判別式的性質(zhì)反用也成立，即已知根的情況，可以得到一個等式或不等式，從而確定系數(shù)的值或取值范圍．
Ø 課前熱身
1.(2008年?西寧市)若關(guān)于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 ( )
A.m＜1 B. m＜1且m≠0
C.m≤1 D. m≤1且m≠0
2. (2008年?南通市)若關(guān)于x的方程x2+(2k-1)x+k2-
=0有兩個相等的實數(shù)根，則k=
.
3.( 2007巴中市）一元二次方程
的根的情況為（ ）
A. 有兩個相等的實數(shù)根 B. 有兩個不相等的實數(shù)根C. 只有一個實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根
4、(2007湖北天門）已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0。請你為m選取一個合適的整數(shù)，當(dāng)m=________時，使得到的方程有兩個不相等的實數(shù)根；
Ø 典型例題解析
【例1】 已知關(guān)于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，當(dāng)m為何非負整數(shù)時：
(1)方程只有一個實數(shù)根；(2)方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)方程有兩個不等的實數(shù)根.
【例2】 已知a，b，c是三角形的三條邊，
求證：關(guān)于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0沒有實數(shù)根
【課時訓(xùn)練】
1、（2007巴中市）一元二次方程的根的情況為（ �。�
A. 有兩個相等的實數(shù)根 B. 有兩個不相等的實數(shù)根
C. 只有一個實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根
2、（2007安徽蕪湖）已知關(guān)于x 的一元二次方程
有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（
）
A. m＞－1 B. m＜－2 C. m ≥0 D. m＜0
3、一元二次方程（1－k）x2－2x－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是________.
4、求證：關(guān)于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根。
中考試題
來做
一、填空題
1、關(guān)于x的方程
是一元二次方程，則m的取值范圍是 ____.
2、若b（b≠0）是關(guān)于x的方程
的根，則2b＋c的值為 .
3、方程x2-3x+1=0的根的情況是_______________________________.
4、寫出一個既能直接開方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.
5、在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“
”，其規(guī)則為
,根據(jù)這個規(guī)則，方程
的解為_________________.
6、如果關(guān)于x的一元二次方程
有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是_____________。
7、設(shè)
是一元二次方程
的兩個根，代數(shù)式
的值為___________.
8、
是整數(shù)，已知關(guān)于x的一元二次方程
只有整數(shù)根，則=__________.
二、選擇題
1、關(guān)于
的方程
的根的情況是（ ）
A、有兩個不相等的實數(shù)根 B、有兩個相等的實數(shù)根
C、無實數(shù)根 D、不能確定
2、已知方程
有一個根是
，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（ ）
A、
B、
C、
D、
3、方程
的解是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 無實數(shù)根
4、若關(guān)于x的一元二次方程
沒有實數(shù)根，那么k的最小整數(shù)值是（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D. 
5、如果是一元二次方程
的一個根，
是一元二次方程
的一個根，那么的值是（ ）
A、1或2
B、0或
C、
或
D、0或3
6、設(shè)m是方程
的較大的一根，n是方程
的較小的一根，則
（ ）
A. 
B. 
C. 1
D. 2
三、解答題
1、用配方法解下列方程：
2、已知方程2x2＋(k－9)x＋(k2＋3k＋4)＝0有兩個相等的實數(shù)根，求k值，并求出方程的根。
3、已知a，b，c是△ABC的三條邊長，且方程（a2＋b2）x2－2cx＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀。
4、 已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2mx－
（1）求證：原方程恒有兩個實數(shù)根。
（2）若方程的兩個實數(shù)根一個小于5，另一個大于2，求m的取值范圍。
5、方程
的較大根為a，方程
的較小根為b，求
的值.
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