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第十九單元  導(dǎo)數(shù)

一.選擇題

(1) 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是                                          (       )

A．(x+               B．(log₂x)′=  

C．(3^x)′=3^xlog₃e                  D． (x²cosx)′=-2xsinx  

(2) 函數(shù)y＝x²＋1的圖象與直線y＝x相切，則＝                    (       )

A．            B．          C．             D．1

(3) 函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為                        (       )

A．  B．     C．           D．（0，2）

(4) 函數(shù)已知時(shí)取得極值，則= (       )

A．2           B．3          C．4          D．5

(5) 在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是           (       )

    A．3            B．2              C．1              D．0

(6) 設(shè)f₀(x) ＝ sinx，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，…，f_n＋1(x) ＝ f_n′(x)，n∈N，則f₂₀₀₅(x)＝     (       )

A．sinx　          B．－sinx　      C．cosx           D．－cosx

(7) 已知函數(shù)的圖象如右圖所示（其中 是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中的圖象大致是 (       )

(8)設(shè)在[0, 1]上的函數(shù)f(x)的曲線連續(xù), 且f′(x)>0, 則下列一定成立的是 (       )

A． f(0)<0       B． f(1)>0        C． f(1)> f(0)         D． f(1)<f(0) 

(9)設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x＜0時(shí),＞0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)＜0的解集是  (       )

A．  (-3,0)∪(3,+∞)               B．  (-3,0)∪(0, 3)

    C．  (-∞,- 3)∪(3,+∞)            D．  (-∞,- 3)∪(0, 3)

(10)若的大小關(guān)系                             (       )

    A．    B．    C．      D．與x的取值有關(guān)

二.填空題

(11)設(shè)f(x)= x|x|, 則f′(  0)=         .

(12)函數(shù)在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是          .

(13)若曲線y=h(x)在點(diǎn)P(a, h(a))處的切線方程為2x+y+1=0，則與0的大小關(guān)系是        0

(14)過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為           ，切線的斜率為        .

三.解答題

(15) 已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)P（0,2）,且在點(diǎn)M處的切線方程為.

 （Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(16) 已知函數(shù)在處取得極值.

（Ⅰ）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程.

(17) 已知向量在區(qū)間（－1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍.

(18) 已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，其中，

（I）求與的關(guān)系式；

（II）求的單調(diào)區(qū)間；

（III）(理科做)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3，求的取值范圍.

一選擇題:

1.B  

[解析]：A錯(cuò)，∵(x+

          B正確，∵(log₂x)′=  

C錯(cuò)，∵(3^x)′=3^xln3                 

D錯(cuò)，∵(x²cosx)′=2xcosx+ x²(-sinx)

2.B  

[解析]：此題利用導(dǎo)數(shù)作麻煩！

        把兩個(gè)解析式聯(lián)立得方程x^2-x＋1=0,由=0即得＝

3.D  

[解析]：由<0，得0<x<2

∴函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為（0，2）

4.D  

[解析]：∵，又時(shí)取得極值

∴

則=5

5.D  

[解析]：切線的斜率為

又切線的傾斜角小于，即

故

解得：

故沒(méi)有坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)

6.C  

[解析]：f₀(x) ＝ sinx，f₁(x)＝f₀′(x)=cosx，f₂(x)＝f₁′(x)= -sinx，

f₃(x)＝f₂′(x)= -cosx， f₄(x) ＝ f₃′(x)=sinx，循環(huán)了

則f₂₀₀₅(x)＝f₁(x)＝cosx

7.C  

[解析]：由函數(shù)的圖象可知：

        當(dāng)時(shí)， <0，>0，此時(shí)增

當(dāng)時(shí)，>0，<0，此時(shí)減

當(dāng)時(shí)，<0，<0，此時(shí)減

當(dāng)時(shí)，>0，>0，此時(shí)增

8.C  

[解析]：因?yàn)樵赱0, 1]上的函數(shù)f(x)的曲線連續(xù), 且f′(x)>0，

        所以函數(shù)f(x) 在[0, 1]是增函數(shù)，

        故f(1)> f(0)

9.D  

[解析]：∵當(dāng)x＜0時(shí),＞0 ，即

                 ∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)g(x)為增函數(shù)，

又g(x)是偶函數(shù)且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0

         故當(dāng)時(shí)，f(x)g(x)＜0

         又f(x)g(x)是奇函數(shù)，

         當(dāng)x>0時(shí)，f(x)g(x)為減函數(shù)，且f(3)g(3)=0

         故當(dāng)時(shí)，f(x)g(x)＜0

         故選D

10.D 

[解析]：令  ，則

        當(dāng)時(shí)，<0,

        當(dāng)時(shí)，=0，

當(dāng)時(shí)，>0

即當(dāng)時(shí)，先遞減再遞增，

而

故的值與x取值有關(guān)，即2x與sinx的大小關(guān)系與x取值有關(guān)

二填空題:

11. 0    

[解析]：∵ ∴f′(  0)=0

12. 3，-17 

[解析]：由=0，得，

        當(dāng)時(shí)，>0，當(dāng)時(shí)，<0，當(dāng)時(shí)，>0，故的極小值、極大值分別為，

        而

故函數(shù)在[-3，0]上的最大值、最小值分別是3、-17。

13. <

[解析]：∵曲線y=h(x)在點(diǎn)P(a, h(a))處的切線的斜率為

而已知切線方程為2x+y+1=0，即斜率為－2

故=－2

∴< 0

14. （1，e） e

[解析]：

設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（，切線的斜率為k,

則，故切線方程為

又切線過(guò)原點(diǎn)，∴

三解答題

(15) 解：（Ⅰ）由的圖象經(jīng)過(guò)P（0，2），知d=2，

所以

由在處的切線方程是，知

故所求的解析式是

（Ⅱ）

解得  當(dāng)

當(dāng)

故內(nèi)是增函數(shù)，

在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù).

 (16)（Ⅰ）解：，依題意，，即

解得.

∴.

令，得.

若，則，

故在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù).

若，則，故在上是減函數(shù).

所以，是極大值；是極小值.

（Ⅱ）解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上.

設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足.

因，故切線的方程為

注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，有

化簡(jiǎn)得，解得.

所以，切點(diǎn)為，切線方程為.

(17)解： 依定義

的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，

(18) 解(I)因?yàn)?a >是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),

所以,即，所以

（II）由（I）知，=

當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表：

1

0

0

調(diào)調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

故有上表知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（III）由已知得，即

又所以即①

設(shè)，其函數(shù)開(kāi)口向上，由題意知①式恒成立，

所以解之得

又

所以

即的取值范圍為

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