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第十四單元  直線與平面及簡單幾何體

一.選擇題

(1) 有如下三個命題：

①分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線；

②垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線；

③過平面的一條斜線有一個平面與平面垂直．

其中正確命題的個數(shù)為                                               (       )

A．0                     B．1                        C．2                        D．3

(2)下列命題中正確的個數(shù)是                                                                                                (       )

①     四邊相等的四邊形是菱形;

②     若四邊形有兩個對角都是直角, 則這個四邊形是圓內(nèi)接四邊形;

③“平面不經(jīng)過直線”的等價說法是“直線上至多有一個點在平面內(nèi)”;

④  若兩平面有一條公共直線, 則這兩平面的所有公共點都在這條公共直線上.

A．  1個                   B．  2個                     C．  3個                      D．  4個

(3) 已知直線及平面，下列命題中的假命題是                                         (       )

A．若，，則.               B．若，，則.

C．若，，則.              D．若，，則.

(4) 木星的體積約是地球體積的倍，則它的表面積約是地球表面積的           (       )

A．60倍                       B．60倍                    C．120倍             D．120倍

(5) 已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題：

①若；                      

②若；

③若；

④若a與b異面，且相交；   

⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直.

    其中真命題的個數(shù)是                                                                                               (       )

       A．1                        B．2                        C．3                        D．4

(6) 在正四面體P―ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是                    (       )

       A．BC//平面PDF                                    B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC                              D．平面PAE⊥平面ABC

(7) 如圖, 四邊形ABCD中, AD∥BC, AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD=90°. 將△ADB沿BD折起, 使平面ABD⊥平面BCD, 構(gòu)成三棱錐A-BCD. 則在三棱錐A-BCD中, 下列命題正確的是                                                                                                                                 (       )

A． 平面ABD⊥平面ABC                           B． 平面ADC⊥平面BDC

C． 平面ABC⊥平面BDC                            D．平面ADC⊥平面ABC

(8) 如圖，正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E是A₁B₁的中點，則E到平面AB C₁D₁的距離為                                                                                                                                  (       )

A．　                       B．　                  C．　                     D．

                  （第8題圖 ）                    （第9題圖 ）                                （第10題圖 ）

 (9)如圖正四面體D-ABC中, P∈面DBA, 則在平面DAB內(nèi)過點P與直線BC成60°角的直線共有                                                                                                                                 (       )

A．  0條                                                       B．  1條

C．  2條                                                       D．  3條

(10) 如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF//AB，EF=2，則該多面體的體積為                                             (       )

       A．                   B．                   C．                      D．

二.填空題

(11) 一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為             .

(12)已知直線m、n和平面α、β滿足: α∥β, m⊥α, m⊥n, 則n與β之間的位置關(guān)系

是__________

(13) 如圖，正方體的棱長為，將該正方體沿對角面切成兩塊，再將這兩塊拼接成一個不是正方體的四棱柱，那么所得四棱柱的全面積為__________．

(14) 已知平面和直線，給出條件：

①；②；③；④；⑤.

   （i）當(dāng)滿足條件           時，有；（ii）當(dāng)滿足條件           時，有.

       （填所選條件的序號）

三.解答題

(15)  如圖，正三棱錐S―ABC中，底面的邊長是3，棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，M是BC的中點.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）二面角S―BC―A的大��；

（Ⅲ）正三棱錐S―ABC的體積

(16) 已知正三棱錐的體積為，側(cè)面與底面所成的二面角的大小為.（1）證明：；

    （2）求底面中心到側(cè)面的距離.

(17) 如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點.

   （Ⅰ）求證AC⊥BC₁；

（Ⅱ）求證AC₁//平面CDB₁；

（Ⅲ）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值.

(18)在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中, 底面是等腰三角形

, AB=AC, 側(cè)面BB₁C₁C⊥底面ABC.

(Ⅰ)若D是BC的中點, 求證:AD⊥CC₁;

(Ⅱ)過側(cè)面BB₁C₁C的對角線BC₁的平面交側(cè)棱

于M, 若AM=MA₁, 求證:截面MBC₁⊥側(cè)面BB₁C₁C;

(Ⅲ) AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要

條件嗎? 請你敘述判斷理由.

一選擇題:

1.C 

[解析]：②③正確

2.B  

[解析]：①②錯誤，因為這個四邊形可能是空間四邊形；③④正確；

3.D 

[解析]： 反例：長方體上底面的兩條相交棱，都平行于下底面，但這兩條棱不平行。

4.C 

[解析]：木星的體積約是地球體積的倍，

則它的半徑約是地球半徑的倍（體積比是半徑比的立方）

故表面積約是地球表面積的120倍（面積比是半徑比的平方）

5.A 

[解析]： ②正確

6.C 

[解析]：由DF//BC可得BC//平面PDF  ，故A正確。      

若PO⊥平面ABC，垂足為O，則O 在AE上，則DF⊥PO，又DF⊥AE

故DF⊥平面PAE，故B正確。

由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正確。

7.D 

[解析]：∵在四邊形ABCD中, AD∥BC, AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD=90°

              ∴BD⊥CD

              又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD

              故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB，又AD⊥AB

              故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC

8.B 

[解析]：∵A₁B₁//平面AB C₁D₁的中點，∴E到平面AB C₁D₁ 的距離等于A₁到平面AB C₁D₁的距離，而A₁到平面AB C₁D₁的距離等于A₁到直線AB₁的距離，即.

9.Ｃ 

[解析]： 在平面DAB內(nèi)過點Ｂ與直線BC成60°角的直線共有２條，

　　　　故在平面DAB內(nèi)過點Ｐ與直線BC成60°角的直線共有２條。

10.C

[解析]： 如圖，把原多面體分成一個直三棱柱和兩個三棱錐，

它們的底面正方形ABCD

GB=，1

直三棱柱的體積為1，兩個三棱錐的體積和為

原多面體的體積為

二填空題:

11. 4

[解析]：∵一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為

              ∴截面圓的半徑為1，

               故球的半徑為，∴球的表面積為4

12. nβ或 n∥β

[解析]： 已知直線m、n和平面α、β滿足: ∵α∥β, m⊥α, ∴m⊥β,

                又m⊥n,故nβ或 n∥β

13.

[解析]：  新四棱柱的表面是四個正方形，與兩個矩形（長為，寬為1）

故全面積為

14. ③⑤   ②⑤

[解析]：若，，則；

               若，，則。

三解答題

(15) 解：（Ⅰ）∵SB=SC，AB=AC，M為BC中點，

∴SM⊥BC，AM⊥BC.

由棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，即

（Ⅱ）作正三棱錐的高SG，則G為正三角形ABC的中心，G在AM上，

∵SM⊥BC，AM⊥BC，

∴∠SMA是二面角S―BC―A的平面角.

在Rt△SGM中，

∵

∴∠SMA=∠SMG=60°，

即二面角S―BC―A的大小為60°。

（Ⅲ）∵△ABC的邊長是3，

∴

∴

(16   [證明]（1）取邊的中點，連接、，

          則，，故平面.           ∴ .                 

[解]（2）如圖， 由（1）可知平面平面，則是側(cè)面與底面所成二面角的平面角.

    過點作為垂足，則就是點到側(cè)面的距離.            

設(shè)為，由題意可知點在上，

∴ ，.

,

        ∴ ，

        ∵ ，∴ .

        即底面中心到側(cè)面的距離為3. 

(17) 解法一：

   （Ⅰ）∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，

∴AC⊥BC­₁.

（Ⅱ）設(shè)CB₁與C₁B的交點為E，連結(jié)DE，

 ∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，

  ∴DE//AC₁，

  ∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

  ∴AC₁//平面CDB₁.

（Ⅲ）∵DE//AC₁，∴∠CED為AC₁與B₁C所成的角，

  在△CED中，ED=

  ∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為

  解法二：

  ∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

  ∴AC，BC，C₁C兩兩垂直.

  如圖，以C為坐標(biāo)原點，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，

  y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

  則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），

  B₁（0，4，4），D（，2，0）.

（Ⅰ）

（Ⅱ）設(shè)CB₁與C₁B的交點為E，則E（0，2，2）.

（Ⅲ）

       ∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為

(18) (Ⅰ)證明: ∵AB=AC, D是BC的中點,

∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C,

∴AD⊥側(cè)面BB₁C₁C.

∴AD⊥CC₁.   

(Ⅱ)延長B₁A₁與BM交于N, 連結(jié)C₁N. 

∵AM=MA₁,

∴NA₁=A₁B₁.

∵A₁B₁=A₁C₁,

∴A₁C₁= A₁N=A₁B₁.

∴C₁N⊥C₁B₁.

∵截面N B₁C₁⊥側(cè)面BB₁C₁C,

∴C₁N⊥側(cè)面BB₁C₁C.

∴截面C₁N B⊥側(cè)面BB₁C₁C.

∴截面MBC₁⊥側(cè)面BB₁C₁C.

(Ⅲ)解: 結(jié)論是肯定的, 充分性已由(2)證明,

下面證必要性: 過M作ME⊥B C₁于E,

 ∵截面MBC₁⊥側(cè)面BB₁C₁C,

∴ME⊥側(cè)面BB₁C₁C.

又∵AD⊥側(cè)面BB₁C₁C,

∴ME∥AD.

∴M, E, A, D共線.

∵A M∥側(cè)面BB₁C₁C,

∴AM∥DE.

∵CC₁⊥AM,

∴DE∥CC₁.

∵D是BC的中點,

∴E是BC₁的中點.

∴AM= DE=CC₁=AA₁.

 ∴AM= MA₁.

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