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練習(xí)冊

練習(xí)冊
試題

題號

一

二

三

總分

1-10

11-13

14

15

16

17

18

得分

上海市閘北區(qū)2009屆高三模擬考試卷

數(shù)學(xué)（理科）

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

_得分

_評卷人

一．填空題 (本大題滿分50分）本大題共有10題，只要求直接填寫結(jié)果，

1．函數(shù)的定義域為___________.

2．若，則的值為．

3．增廣矩陣為的線性方程組的解用向量的坐標(biāo)形式可表示為．

4．若展開式的第9項的值為12，則= ．

5．已知向量和的夾角為，，且，則________．

6．在極坐標(biāo)系中，定點A，點B在曲線上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的極坐標(biāo)是．

7．設(shè)圓C與雙曲線的漸近線相切，且圓心在雙曲線

的右焦點，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .

8．方程的實數(shù)解的個數(shù)為．

9．如圖1是一個跨度和高都為2米的半橢圓形拱門，則能通過該拱門

的正方形玻璃板（厚度不計）的面積范圍用開區(qū)間表示是__________．圖1

10．設(shè)，且，則的取值范圍為．

_得分

_評卷人

11．已知復(fù)數(shù)，則……………………………………………………（）

A． B． C． D．

12．過點，且與向量平行的直線的方程是…………………………( )

A． B． C． D．

13．在中，設(shè)、、分別是、、所對的邊長，且滿足條件，則面積的最大值為………………………………………………………………… ( )

A． B． C． D．

_得分

_評卷人

三．解答題 (本大題滿分85分)本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.

如圖2，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，為的中點．

（Ⅰ）求異面直線OC與MD所成角的大��；

（Ⅱ）求點M到平面的距離．

_得分

_評卷人

一種填數(shù)字彩票2元一張，購買者在卡上依次填上0~9中的兩個數(shù)字（允許重復(fù)）．中獎規(guī)則如下：

如果購買者所填的兩個數(shù)字依次與開獎的兩個有序數(shù)字分別對應(yīng)相等，則中一等獎10元；

如果購買者所填的兩個數(shù)字中，只有第二個數(shù)字與開獎的第二個數(shù)字相等，則中二等獎2元；

其他情況均無獎金．

（Ⅰ）小明和小輝在沒有商量的情況下各買一張這種彩票，求他倆都中一等獎的概率；

（Ⅱ）設(shè)“購買一張這種彩票中一等獎”為事件A，“購買一張這種彩票中二等獎”為事件B，請指出事件的含義，并求事件發(fā)生的概率；

（Ⅲ）設(shè)購買一張這種彩票的收益為隨機變量，求的數(shù)學(xué)期望．

_得分

_評卷人

設(shè)，其中實常數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的定義域和值域；

（Ⅱ）試研究函數(shù)的基本性質(zhì)，并證明你的結(jié)論．

_得分

_評卷人

將數(shù)列中的所有項按第一行排3項，以下每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：

……

記表中的第一列數(shù)，，，… ，構(gòu)成數(shù)列．

（Ⅰ）設(shè)，求的值；

（Ⅱ）若，對于任何，都有，且．求數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數(shù)列，若上表中每一行的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且，求上表中第（）行所有項的和．

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_得分

_評卷人

18．（本小題滿分20分）

和平面解析幾何的觀點相同，在空間中，空間曲面可以看作是適合某種條件的動點的軌跡．一般來說，在空間直角坐標(biāo)系中，空間曲面的方程是一個三元方程．

（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，求到定點的距離為3的動點的軌跡（球面）方程；

（Ⅱ）如圖3，設(shè)空間有一定點到一定平面的距離為

常數(shù)，即，定義曲面為到定點與到

定平面的距離相等（）的動點的軌跡，

試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求曲面的方程；圖3

（Ⅲ）請類比平面解析幾何中對二次曲線的研究，討論曲面的幾何性質(zhì)．并在圖4中通過畫出曲面與各坐標(biāo)平面的交線（如果存在）或與坐標(biāo)平面平行的平面的交線（如果必要）表示曲面的大致圖形．畫交線時，請用虛線表示被曲面自身遮擋部分．

閘北區(qū)09屆高三數(shù)學(xué)（理）學(xué)科模擬考試

一．填空題：

1．； 2．； 3． 4．2； 5．；

6. ； 7．； 8．3； 9．； 10．．

二．選擇題：11．B ； 12．C； 13．C．

三．解答題：

14．[解]（Ⅰ）方法一（綜合法）設(shè)線段的中點為，連接，

則為異面直線OC與所成的角（或其補角） ………………………………..1分

由已知，可得，

為直角三角形 ……………………………………………………………….1分

， ……………………………………………………………….4分

．

所以，異面直線OC與MD所成角的大小． …………………………..1分

方法二(向量法)

以AB,AD,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系，

則, ……………………………………………………2分

，， ………………………………………………………………………………..1分

設(shè)異面直線OC與MD所成角為，

．……………………………….. …………………………2分

OC與MD所成角的大小為．…………………………………………………1分

（Ⅱ）方法一（綜合法）

作于， ……………………………………………………………………………1分

且，平面

平面 ………………………………………………………………………………4分

所以，點到平面的距離 …………………………………………………2分

方法二(向量法)

設(shè)平面的一個法向量，

…………………………………………………………………2分

．

……………………………………………………………………………………….2分

設(shè)到平面的距離為

則．……………………………………………………………………3分

15．[解]（Ⅰ）設(shè)“小明中一等獎”為事件，“小輝中一等獎”為事件，事件與事件相互獨立，他們倆都中一等獎，則

所以，購買兩張這種彩票都中一等獎的概率為． ………………………………..4分

（Ⅱ）事件的含義是“買這種彩票中獎”，或“買這種彩票中一等獎或中二等獎”…1分

顯然，事件A與事件B互斥，

所以， ………………………………..3分

故購買一張這種彩票能中獎的概率為．……………………………………………………..1分

（Ⅲ）對應(yīng)不中獎、中二等獎、中一等獎，的分布列如下：

…………………………………………..………………………………………………….3分

購買一張這種彩票的期望收益為損失元．…………………………………………………..3分

16．[解] （Ⅰ）由于恒成立，所以函數(shù)的定義域為………………..2分

，

（1）當(dāng)時，函數(shù)，函數(shù)的值域為…………………………1分

（2）當(dāng)時，因為，所以，

，從而，………………………………………………..3分

所以函數(shù)的值域為． ……………………………………………………….1分

（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，則，對于任意的，有成立，

即

當(dāng)時，函數(shù)是奇函數(shù)． …………………………………………………….2分

當(dāng)時，函數(shù)是偶函數(shù)． ………………………………………………..2分

當(dāng)，且時，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)． ………………………………….1分

對于任意的，且，

………………………………………..3分

所以，當(dāng)時，函數(shù)是常函數(shù) ………………………………………..1分

當(dāng)時，函數(shù)是遞減函數(shù)． ………………………………………..1分

17．[解]（Ⅰ）由題意，……………………………6分

（Ⅱ）解法1：由且知

，，

，，

因此，可猜測（） ………………………………………………………4分

將，代入原式左端得

左端

即原式成立，故為數(shù)列的通項．……………………………………………………….3分

用數(shù)學(xué)歸納法證明得3分

解法2：由，

令得，且

即，……… ……………………………………………………………..4分

所以

因此，，．．．，

將各式相乘得………………………………………………………………………………3分

（Ⅲ）設(shè)上表中每行的公比都為，且．因為，

所以表中第1行至第9行共含有數(shù)列的前63項，故在表中第10行第三列，………2分

因此．又，所以． …………………………………..3分

則．…………………………………………2分

18．[解]（Ⅰ）動點的軌跡是以為原點，以3為半徑的球面 ……………………………1分

并設(shè)動點的坐標(biāo)為，動點滿足．

則球面的方程為． …………………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)動點，則

所以 ……………………………………………………………5分

整理得曲面的方程：（*） …………………………………………2分

若坐標(biāo)系原點建在平面上的點處，可得曲面的方程：同樣得分．

（Ⅲ）（1）對稱性：由于點關(guān)于平面的對稱點、關(guān)于平面的對稱點均滿足方程（*），所以曲面關(guān)于平面與平面對稱． …………………2分

又由于點關(guān)于軸的對稱點滿足方程（*），所以曲面關(guān)于軸對稱．

（2）范圍：由于，所以，，即曲面在平面上方． ………………2分

文本框: （3）頂點：令，得，即坐標(biāo)原點在曲面上，點是曲面的頂點． …2分

…………………………2分

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