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練習冊

練習冊
試題

江蘇省揚州中學2009屆高三5月模擬考試

數(shù)學試卷

2009、5

一、填空題：

1．不等式的解集是________.

2. 已知：為第四象限角，且，則=________.

3. 已知：A=，B=，則A∩B=_________.

4. 直線在兩坐標軸上的截距之和為2，則實數(shù)的值是_____.

5. 在等比數(shù)列中，，，則________.

6. 對于函數(shù)圖象上任意兩點,，直線段AB必在曲線段AB的上方，則由圖象的特征可得不等式.請分析的圖象特征，類比上述不等式可以得到 .

7. 若AD為△ABC的角平分線，滿足AD=AB=2，，則CD=_________.

8. 已知平面上不同的四點A、B、C、D，若，

則△ABC是_________三角形.

9. 某醫(yī)療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把名使用血清的人與另外名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用列聯(lián)表計算得，經(jīng)查對臨界值表知．

對此，四名同學做出了以下的判斷：

p：有的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”

q：若某人未使用該血清，那么他在一年中有的可能性得感冒

r：這種血清預防感冒的有效率為

s：這種血清預防感冒的有效率為

則下列結論中，正確結論的序號是．（把你認為正確的命題序號都填上）

（1） p∧?q ；（2）?p∧q ；

(3)（?p∧?q）∧（r∨s）；（4）(p∨?r)∧(?q∨s)

10. 橢圓的左右焦點分別為F₁ ?F₂，在橢圓上存在點P，滿足。則此橢圓的離心率e的取值范圍是．

11. 設，把的圖象向右單位平移m（m>0）個單位后，圖象恰好為函數(shù)的圖象，則m的最小值為________.

12. 已知函數(shù)存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是．

13. 設x，y均為正實數(shù)，且，則xy的最小值為________.

14. 已知可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和，若關于的不等式對于恒成立，則實數(shù)的最小值是．

二、解答題：

15. A袋中有1張10元和1張5元的錢幣，B袋中有2張10元和1張5元的錢幣，從A袋中任取一張錢幣與B袋任取一張錢幣互換，這樣的互換進行了一次后：

求（1）A袋中10元錢幣恰是一張的概率；

（2）A袋中10元錢幣至少是一張的概率.

16. 已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是、邊長為的菱形，又，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．

（1）證明：DN//平面PMB；

（2）證明：平面PMB平面PAD；

（3）求點A到平面PMB的距離．

17. 已知的面積為，且滿足，設和的夾角為．

(1)求的取值范圍；

(2)求函數(shù)的最大值與最小值．

18. 已知直線l₁：x＋my－m－2＝0與x軸交于點A，直線l₂：mx－y-2m+1＝0與y軸交于點B，直線l₁與l₂的交點為M，O為坐標原點.

(1)求證：A，M，B，O四點共圓，并寫出圓的方程；

(2)當AB與OM垂直于點P時，求證：點P與四邊形AMBO其中一邊中點的連線與對邊垂直.

19. 設n為給定的正整數(shù)，記A_n={x|2ⁿ<x<2ⁿ⁺¹,且x=3m,m∈N}

（1）當n為奇數(shù)時，求A_n中的最大數(shù)和最小數(shù)；

（2）求A_n中所有元素之和.

20. 已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為，且不等式的解集為.

（1）若函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，求的取值范圍；

（2）當時，證明方程僅有一個實數(shù)根.

（3）當x∈［0,1］時，試討論||≤3成立的充要條件.

命題、校對：唐一良、張福儉　

江蘇省揚州中學2009屆高三5月模擬考試

附加題

選修4-1――4-4（其中1、2、3、4題任選2題解答；5、6為必做題）

1.如圖,AB為半圓直徑,D為AB上一點,分別在半圓上取點E、F,使EA＝DA,FB＝DB.過D作AB的垂線,交半圓于C.求證：CD平分EF.

2．自然界生物種群的成長受到多種條件因素的影響，比如出生率、死亡率、資源的可利用性與競爭、捕食者的獵殺乃至自然災害等等.因此，它們和周邊環(huán)境是一種既相生又相克的生存關系.但是，如果沒有任何限制，種群也會泛濫成災.現(xiàn)假設兩個互相影響的種群X，Y隨時間段變化的數(shù)量分別為{a_n}，{b_n}，并有關系式，其中a₁＝1，b₁＝1，試分析20個時段后這兩個種群的數(shù)量變化趨勢.

3．過拋物線y²=2px(p＞0)的焦點F任作一弦AB=4p，建立適當?shù)臉O坐標系，求OA的極角.(O為極點)

4．已知為正整數(shù)，用數(shù)學歸納法證明：當時，；

5．拋一枚均勻的骰子（骰子的六面分別有數(shù)字1、2、3、4、5、6）來構造數(shù)列

（1）求的概率；（2）若的概率.

6. 2條直線將一個平面最多分成4部分，3條直線將一個平面最多分成7部分，4條直線將一個平面最多分成11部分，；4＝，7＝，11＝

；.

(1)條直線將一個平面最多分成多少個部分()?證明你的結論；

(2)個平面最多將空間分割成多少個部分()?證明你的結論.

命題、校對：唐一良、張福儉　　

江蘇省揚州中學2009屆高三5月模擬考試

1． 2． 3．{(1，-1)} 4．12 5．

6． 7． 8．直角

9．解析：（1）（4）．本題考查了獨立性檢驗的基本思想及常用邏輯用語．由題意，得高考資源網(wǎng)( www.ks5u.com)，中國最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。，，所以，只有第一位同學的判斷正確，即：有的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”．由真值表知（1）（4）為真命題．

10．提示：設四棱錐的兩組不相鄰的側面的交線分別為 m、n, 直線 m、n 確定了一個平面 β．作與 β 平行的平面 α, 與四棱錐的各個側面相截，則截得的四邊形必為平行四邊形．而這樣的平面 α 有無數(shù)多個．

11． 12．y=-x ±

13．解：由可化為xy =8+x+y

x，y均為正實數(shù)， xy =8+x+y（當且僅當x=y等號成立）

即xy-2-8可解得，即xy16故xy的最小值為16.

14．

15．解：（1）A中2張錢幣取1張，有2種情況，

B中3張錢幣取1張，有3種情況，

∴互換一次有2´3 = 6種情況，

其中10元幣恰是一張的情況有3種，

∴A袋中10元錢幣恰是一張的概率為P₁ =.答略

（2）A袋中恰有一張10元幣的概率為P₁ = ；

A袋中恰有兩張10元幣的概率為P₂ = ；

∴ A袋中10元錢幣至少是一張的概率P = P₁ + P₂ = + = .

另解：. A袋中恰有0張10元幣的概率為P₀ = ，

∴A袋中10元錢幣至少是一張的概率P = 1 ? P₀= .答略.

16．解：高考資源網(wǎng)( www.ks5u.com)，中國最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。（1）證明：取PB中點Q，連結MQ、NQ，因為M、N分別是棱AD、PC中點，所以

QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ.

.

（2）

又因為底面ABCD是、邊長為的菱形，且M為AD中點，

所以.

又高考資源網(wǎng)( www.ks5u.com)，中國最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。

所以.

（3）因為M是AD中點，所以點A與D到平面PMB等距離.

過點D作于H，由（2）平面PMB平面PAD，所以.

故DH是點D到平面PMB的距離.

所以點A到平面PMB的距離為.

17．解：(1)設中角的對邊分別為，則由，

可得，所以

(2)

因為，，所以

即當時，；當時，

18．解：（1）直線l₁: x＋my－m－2＝0與l₂: mx－y-2m+1＝0互相垂直，且恒過點（2，1），所以點M即（2，1），又OAOB，所以A，M，B，O四點共圓，且AB即圓的直徑，又A（m+2，0），B （0，1-2m），所以圓的方程為：

整理得：

（2）當AB與OM垂直于點P時，由垂徑定理得點P為OM中點（1，），不妨取OA中點Q（，0），又m，否則AM垂直x軸，四邊形AMBO為矩形，AB與OM不垂直，所以，，，得證.

19．解：（1）當n為奇數(shù)時，有2ⁿ+1=（2+1）（2^n-1-2^n-2+…-2+1）=3（2^n-1-2^n-2+…-2+1）

所以2ⁿ+1是最小的數(shù)；又2ⁿ⁺¹-1=（2ⁿ⁺¹+2）-3=2（2ⁿ+1）-3，所以2ⁿ⁺¹-1是最大的數(shù).

（2）由（1）知當n為奇數(shù)時，A_n中的各個元素組成以2ⁿ+1為首項，3為公差的等差數(shù)列，設項數(shù)為m，則2ⁿ⁺¹-1=2ⁿ+1+3(m-1)，所以m=，所以當n是奇數(shù)時，A_n中的所有元素之和為；

當n為偶數(shù)時，n-1時奇數(shù)，由（1）可知2^n-1+1是3的倍數(shù)，因此2ⁿ+2=2（2^n-1+1）是3的倍數(shù)；同理，2ⁿ⁺¹-2=2（2ⁿ-1）是3的倍數(shù).所以當n為偶數(shù)時，A_n中的各個元素組成以2ⁿ+2為首項，3為公差的等差數(shù)列，設項數(shù)為m，則2ⁿ⁺¹-2=2ⁿ+2+3(m-1)，所以m=，所以當n是偶數(shù)時，A_n中的所有元素之和為.

20．解：（1），∴可設，

因而 ①

=，

∵在區(qū)間內單調遞減，

∴在上的函數(shù)值非正，

由于，對稱軸，故只需，注意到，∴，得或（舍去）.

故所求的取值范圍是.

（2）時，方程僅有一個實數(shù)根，即證方程僅有一個實數(shù)根.令，由，得，，易知在，上遞增，在上遞減，的極大值，故函數(shù)的圖像與軸僅有一個交點，∴時，方程僅有一個實數(shù)根，得證.

（3）設 = x²+x+1, =1，對稱軸為，.

由題意,得或

解出，故使||≤3成立的充要條件是

附加題：

1．證明：如圖,分別過點E、F作AB的垂線,G、H為垂足,連FA、EB.易知

DB²＝FB²＝AB?HB,

AD²＝AE²＝AG?AB.

高考資源網(wǎng)( www.ks5u.com)，中國最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。二式相減,得

DB²－AD²＝AB?(HB－AG),

或 (DB－AD)?AB＝AB?(HB－AG).

于是,DB－AD＝HB－AG,

或 DB－HB＝AD－AG.

就是DH＝GD.

顯然,EG∥CD∥FH.

故CD平分EF.2.

2．解：由上題可知₁ =,₂=是矩陣M= 分別對應特征值₁=1，₂=4的兩個特征向量，而₁與₂不共線.又==3+（－2）

∴M²⁰= M²⁰(3₂+（－2）₁)=3 M²⁰₂+(－2) M²⁰₁

=3₂²⁰₂+（－2）×₁²⁰₁=3×4²⁰×+(-2)×1²⁰×

=≈

答：20個時段后這兩個種群的數(shù)量都趨向于3×4²⁰.

3．證明：以F為極點，極軸與x軸正向重合建立極坐標系．

設拋物線方程，A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ＋π），

則AB＝ρ₁＋ρ₂＝ = 4p，sin²θ=，θ=

4．（Ⅰ）證明：（?）當時，原不等式成立；當時，左邊，右邊，因為，所以左邊右邊，原不等式成立；

（?）假設當時，不等式成立，即，則當時，

，，于是在不等式兩邊同乘以得

，

所以．即當時，不等式也成立．

綜合（?）（?）知，對一切正整數(shù)，不等式都成立．

5．（1）設事件為A,則在7次拋骰子中出現(xiàn)5次奇數(shù)，2次偶數(shù)

而拋骰子出現(xiàn)的奇數(shù)和偶數(shù)的概率為p是相等的，且為

根據(jù)獨立重復試驗概率公式：

（2）若

即前2次拋骰子中都是奇數(shù)或都是偶數(shù).

若前2次都是奇數(shù)，則必須在后5次中拋出3次奇數(shù)2次偶數(shù)，

其概率：

若前2次都是偶數(shù)，則必須在后5次中拋出5次奇數(shù)，其概率：

所求事件的概率

6．以下解答僅供參考，按學生實際解答給分.

解：(1)條直線將一個平面最多分成個部分(),與（2）合并證明；

(2)個平面最多將空間分割成個部分().

證明：設個維空間可將維空間最多分成個部分，則只需證明

，這里∈

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