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    上海市楊浦區(qū)2008學(xué)年度第二學(xué)期高三學(xué)科測試
    數(shù)學(xué)理科試卷                 
　　2009.4
       （滿分150分，考試時間120分鐘）
    考生注意：
    本試卷包括試題紙和答題紙兩部分．在本試題紙上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題．可使用符合規(guī)定的計算器答題．
    一、填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，每題5分，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．
    1．直線的傾斜角為       ．
    

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    2．已知全集，集合，，
    

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    則=       ．
    

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    3．若復(fù)數(shù)滿足 (其中是虛數(shù)單位)，則=       ．
    

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    4．二項式展開式中系數(shù)的值是       ．
    

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    5．市場上有一種“雙色球”福利彩票，每注售價為2元，中獎
    

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    概率為6.71%，一注彩票的平均獎金額為14.9元．如果小王購
    買了10注彩票，那么他的期望收益是       元．
    

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    6．把化為積的形式，其結(jié)果為       ．
    

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    7．已知是橢圓上的一個動點，則
    

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    的最大值是       ．
    

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    8．已知（），則的值是       ．
    

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    9．如圖是輸出某個數(shù)列前10項的框圖，則該數(shù)列第3項
    的值是       ．
    

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    10. 在極坐標系中,過圓的圓心,且垂直于極軸的
    直線的極坐標方程是       ．
    

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    11．如圖，用一平面去截球所得截面的面積為cm2，已知
    球心到該截面的距離為1 cm，則該球的體積是   　    cm3.
    

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    12．在△中，，，是邊的中點，則的值
    是       .
     
    

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    二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題4分．每題只有一個正確答案，選擇正確答案的字母代號并按照要求填涂在答題紙的相應(yīng)位置．
    13．線性方程組的增廣矩陣是………………………………………………（    ）．
    

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    A．    B．    C．     D．
    

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    14．在直角坐標系中，已知△的頂點和，頂點在橢圓
    

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    上，則的值是…………………………………………………………………（    ）．
    

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    A．                       B．                       C．2                     D．4 
    

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    15. 以依次表示方程的根，則的大小順
    序為…………………………………………………………………………………………（    ）．
    

    試題詳情
    

    A．                B．              C．         D．
     
     
     
    

    試題詳情
    

    16．已知數(shù)列，對于任意的正整數(shù)，，設(shè)表示數(shù)列
    

    試題詳情
    

    的前項和．下列關(guān)于的結(jié)論，正確的是……………………………………（    ）．
    

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    A．                                     B．  
    

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    C．（）    D．以上結(jié)論都不對
     
     
    

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    三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙上與題號對應(yīng)的區(qū)域?qū)懗霰匾牟襟E.
    17．(本題滿分12分)
    

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    文本框:  x動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的長方形熊貓居室（如圖所
    

    試題詳情
    

    示）．如果可供建造圍墻的材料長是30米，那么寬為多少米時才能使所建造的熊貓居室面積最大？熊貓居室的最大面積是多少平方米？
     
     
    18. (本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分.
    

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    在長方體中，，，．求：
    

    試題詳情
    

    （1）頂點到平面的距離；
    

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    （2）二面角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
    

    試題詳情
    

    


    
 
    
  
 
    
 
    
  
  
 
    

    

 
     
     
     
     
     
     
     
    19．(本題滿分15分) 本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分4分，
    第3小題滿分8分.
    

    試題詳情
    

    設(shè)數(shù)列的前和為，已知，，，，
    

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    一般地，（）．
    

    試題詳情
    

    （1）求；
    

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    （2）求；
    

    試題詳情
    

    （3）求和：．
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    20．(本題滿分15分) 本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分10分.
    

    試題詳情
    

    已知為實數(shù)，函數(shù)，（）． 
    

    試題詳情
    

    （1）若，試求的取值范圍；
    

    試題詳情
    

    （2）若，求函數(shù)的最小值．
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    21．(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分7分，
    第3小題滿分7分.
    

    試題詳情
    

    已知是拋物線上的相異兩點．
    

    試題詳情
    

    （1）設(shè)過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率1的直線相交于點P(4，4)，求直線AB的斜率；
    （2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線G，過該圓錐曲線上的
    

    試題詳情
    

    相異兩點A、B所作的兩條直線相交于圓錐曲線G上一點；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
    

    試題詳情
    

    （3）線段AB（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點．若，試用線段AB中點的縱坐標表示線段AB的長度，并求出中點的縱坐標的取值范圍．
     
     
     
    上海市楊浦區(qū)2008學(xué)年度第二學(xué)期高三學(xué)科測試
    

    試題詳情
    

    說明
        1. 本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評分標準的精神進行評分.
        2. 評閱試卷，應(yīng)堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱. 當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分數(shù)之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分.
        3. 第17題至第21題中右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分數(shù). 
        4. 給分或扣分均以1分為單位.
    答案及評分標準
     
    1．；  
2．；   3．；  
4．；   5．（理）元；（文）0.7；
    6．（理）； （文）200赫茲；   7．（理）5；  （文）p=4．
    8．（理）； （文）
    9．；    10．（理）；  （文）方程為．
    11．（理）；  （文）；    12．12．
     
    13――16：A；  C ； 
C；  理B文A
     
    17．設(shè)熊貓居室的總面積為平方米，由題意得：．… 6分
    解法1：，因為，而當時，取得最大值75． 10分
    所以當熊貓居室的寬為5米時，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分
    解法2：=75，當且僅當，即時，取得最大值75．                       
…… 10分
    所以當熊貓居室的寬為5米時，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分
     
    18．理：如圖，建立空間直角坐標系，可得有關(guān)點的坐標為、、、、、．                                 
……2分
    設(shè)平面的法向量為，則，．
    因為，，                         
……3分
    ，， 
    所以解得，取，得平面一個法向量，且．                                                    
……5分
    （1）在平面取一點，可得，于是頂點到平面的距離，所以頂點到平面的距離為，        
……8分
    （2）因為平面的一個法向量為，設(shè)與的夾角為a，則
    ，                                       
……12分
    結(jié)合圖形可判斷得二面角是一個銳角，它的大小為．……14分
     
    文：（1）圓錐底面積為 cm2，                              
         ……1分
    設(shè)圓錐高為cm，由體積，                  
            ……5分
    由cm3得cm；                               
         ……8分
    （2）母線長cm，                                            
……9分
    設(shè)底面周長為，則該圓錐的側(cè)面積=，                
         ……12分
    所以該圓錐的側(cè)面積=cm2．                                    
……14分
     
    19．（理）（1）；                                
         ……3分
    （2）當時，（）
    ，
……6分
    所以，（）．                            
         ……8分
    （3）與（2）同理可求得：，             
         ……10分
    設(shè)=，
    則，（用等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法），相減得
    ，所以
    ．                
         ……14分
     
    （文）（1）設(shè)數(shù)列前項和為，則．     ……3分
    （2）公比，所以由無窮等比數(shù)列各項的和公式得：
    數(shù)列各項的和為=1．                                    
……7分
    （3）設(shè)數(shù)列的前項和為，當為奇數(shù)時，=
    ；                                          
……11分
    當為偶數(shù)時，=．    ……14分
    即．                  
……15分
     
    20．（1）即，又，2分
    所以，從而的取值范圍是．     
……5分
    （2），令，則，因為，所以，當且僅當時，等號成立，8分
    由解得，所以當時，函數(shù)的最小值是；                                   
         ……11分
    下面求當時，函數(shù)的最小值．
    當時，，函數(shù)在上為減函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為．
    [當時，函數(shù)在上為減函數(shù)的證明：任取，，因為，，所以，，由單調(diào)性的定義函數(shù)在上為減函數(shù)．]
    于是，當時，函數(shù)的最小值是；當時，函數(shù)的最小值．                     
         ……15分
     
    21．（1）由解得；由解得．
    由點斜式寫出兩條直線的方程，，
    所以直線AB的斜率為．                                   ……4分
    （2）推廣的評分要求分三層
    一層:點P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般（3分，問題1分、解答2分）
    例：1．已知是拋物線上的相異兩點．設(shè)過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P，求直線AB的斜率；
    2．已知是拋物線上的相異兩點．設(shè)過點且斜率為-k 1的直線，與過點且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點P（4，4），求直線AB的斜率；
    3．已知是拋物線上的相異兩點．設(shè)過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．
    二層:兩個一般或推廣到其它曲線（4分，問題與解答各占2分）
    例：4．已知點R是拋物線上的定點．過點P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．
    三層:滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或?qū)λ袌A錐曲線成立的想法．）（7分，問題3分、解答4分）
    例如：5.已知拋物線上有一定點P，過點P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．
    過點P（），斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為，，其中。
     由得，所以
    同理，把上式中換成得，所以
    當P為原點時直線AB的斜率不存在，當P不為原點時直線AB的斜率為。
    （3）（理）點，設(shè)，則． 
    設(shè)線段的中點是，斜率為，則=．12分
    所以線段的垂直平分線的方程為，
    又點在直線上，所以，而，于是．                                                      
……13分
     (斜率，則--------------------------------13分)
    線段所在直線的方程為，                 
……14分
    代入，整理得              
……15分
    ，。設(shè)線段長為，則
    =
                                  
……16分
    因為，所以                ……18分
    即：．（）    
     
    （文）設(shè)，則
		
    

    

    同步練習(xí)冊答案