湖南省雅禮中學(xué)2009屆高三第七次月考
數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）
命題：高三數(shù)學(xué)組 審卷：高三數(shù)學(xué)組
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．
參考公式： 正棱錐、圓錐的側(cè)面積公式
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互獨立，那么 其中，c表示底面周長、l表示斜高或
P（A?B）=P（A）?P（B） 母線長
如果事件A在1次實驗中發(fā)生的概率是 球的體積公式
P，那么n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k
次的概率 其中R表示球的半徑
第I卷(共40分)
二．填空題：本大題共7小題，每小題5分（第14題第一空２分，第二空3分，第15題第一空3分，第二空2分），共35分．把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上．
10．已知，，且，則向量與向量的夾角是．
11．設(shè)，要使函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則的值為．
12．某單位為了了解用電量度與氣溫之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：
氣溫(0C)
18
13
10
-1
用電量(度)
24
34
38
64
由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程中．現(xiàn)預(yù)測當(dāng)氣溫為時，用電量的度數(shù)約為68．
13．底面邊長為，側(cè)棱長為2的正三棱錐ABCD內(nèi)接于球O，則球O的表面積為．
14．已知數(shù)列：1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，，……．
（i）對應(yīng)的項數(shù)為；（ii）前2009項的和為．
15．已知，滿足，且目標(biāo)函數(shù)的最大值為7，最小值為4，
則（i）；（ii）的取值范圍為．
三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知sin(＋3a) sin(－3a)＝，a∈(0， )，求（１）求角；（２）求( －)sin4α的值．
解：（１）
，
即，又6a∈(0，)，∴，即．…………………………6分
（２）（－）
sin4α=
．………………………………………………………………………12分
17．（本小題滿分12分）
已知斜三棱柱，，
，在底面上的射影恰
為的中點，又知．
（１）求證：平面；
（２）求二面角的大�。�
解：（１）取的中點，則，因為，
所以，又平面，以為軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，，，，，，由，知，
又，從而平面． …………………………………………6分
（２）由，得．設(shè)平面的法向量為，
，，所以 ，
設(shè)，則．
再設(shè)平面的法向量為，，，
所以 ，設(shè)，則．
根據(jù)法向量的方向，可知二面角的大小為． ……………12分
幾何法（略）
18．（本小題滿分12分）
在一種智力有獎競猜游戲中，每個參加者可以回答兩個問題（題1和題2），且對兩個問題可以按自己選擇的順序進行作答，但是只有答對了第一個問題之后才能回答第二個問題．假設(shè)：答對題（），就得到獎金元，且答對題的概率為（），并且兩次作答不會相互影響．
（１）當(dāng)元，，元，時，某人選擇先回答題1，設(shè)獲得獎金為，求的分布列和．
（２）若，，若答題人無論先回答哪個問題，答題人可能得到的獎金一樣多，求此時的值．
解：（１）分布列：
0
2000
3000
0.4
0.12
0.48
． ………………………………6分（２）設(shè)選擇先回答題1，得到的獎金為；選擇先回答題2，得到的獎金為，
則有，．根據(jù)題意可知：
，
當(dāng)時，（負(fù)號舍去）．當(dāng)時，，
，先答題1或題2可能得到的獎金一樣多．………………………………12分
19．（本小題滿分13分）
已知函數(shù)．（１）求的單調(diào)區(qū)間；（２）若不等式
恒成立，求實數(shù)的取值組成的集合．
解：（１）由已知得．因為，
所以當(dāng)．
故區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間，區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間．……5分
（２）①當(dāng)時，．
令，則．
由（１）知當(dāng)時，有，所以，
即得在上為增函數(shù)，所以，
所以． ………………………………………………………………………………9分
②當(dāng)時，．
由①可知，當(dāng)時，為增函數(shù)，所以，
所以．
綜合以上得．故實數(shù)的取值組成的集合為． …………………………13分
20．（本小題滿分13分）
是,且．
（１）求此橢圓的方程；
（２）設(shè)直線和直線的傾斜角分別
為．試判斷是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．
解：（１）由已知可得，所以橢圓方程為． ……4分
（２）是定值．理由如下：
由（１），A2（2，0），B（0，1），且//A2B，所以直線的斜率．…6分
設(shè)直線的方程為,，
即，且 ． ………………………9分
． …………………………………………10分
又因為，
＝
．
又 是定值．…………………………13分
21．（本小題滿分13分）
定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．已知無窮等比數(shù)列的首項和公比均為．
（１）試求無窮等比子數(shù)列（）各項的和；
（２）已知數(shù)列的一個無窮等比子數(shù)列各項的和為，求這個子數(shù)列的通項公式；
（３）證明：在數(shù)列的所有子數(shù)列中，不存在兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和相等．
解：（１）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項的和為：
． ……………………………………………………………………3分
（２）解法一：設(shè)子數(shù)列的首項為，公比為，由條件得：，
則，即 ， ．
而 ，則 ．
所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項．公比均為，
其通項公式為，． ………………………………………………7分
解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為．
由………… ①
又若，則對每一，都有………… ②
從①、②得；則；
因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項．公比均為無窮等比子數(shù)列，通項公式為，． …………………………………………7分
（３）假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和相等．設(shè)這兩個
子數(shù)列的首項與公比分別為和，其中且或，則………… ①
若且，則①，矛盾；若且，則①
，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則
．
①………… ②
②
或
，兩個等式的左,右端的奇偶性均矛盾．
故不存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項和相等． ………13分
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