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練習(xí)冊

練習(xí)冊
試題

福建省建甌一中2009屆高三第三次調(diào)研考試

數(shù) 學(xué) 試題（理科）

命題詹振照審題黃翠珍

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)，全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

第Ⅰ卷(選擇題，共50分)

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確的選項填寫到答題卷相應(yīng)位置)

1．定義集合運算:，設(shè),則集合的真子集個數(shù)為（）

A． B． C． D．

2．下列命題錯誤的是（）

A．命題“若，則“的逆否命題為”若“

B．若命題，則

C．若為假命題，則，均為假命題

D．的充分不必要條件

3．若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），且是純虛數(shù)，則等于（）

A．40 B． C． D．

4. 已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（）

A． B．

C． D．

5。要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像        （）
A.向右平移個單位          B. 向右平移個單位
C. 向左平移個單位         D. 向左平移個單位

6．在正中，若點分別是的中點，則以為焦點，且過的雙曲線的離心率為（）

A． B． C． D．

7．已知直線交于A、B兩點，O是坐標(biāo)原點，向量、滿

足，則實數(shù)的值（）

A．2 B．－2 C．或－ D．2或－2

8. 根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程的一個根所在的區(qū)間是（）

…

…

…

(A) (B) (C) (D)

9.在數(shù)列中，如果存在非零常數(shù)T，使得對任意正整數(shù)m均成立，那么就稱為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列的周期。已知數(shù)列滿足，且當(dāng)數(shù)列周期為3時，則該數(shù)列的前2009項的和為 ( )

A . 1340 B . 1342 C . 1336 D . 1338

10。定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，單調(diào)遞增，如果，且，則的值為（）
A．恒大于 B. 恒小于 C.可能為 D.可正可負

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2,4,6

本卷包括必考題和選考題兩部分．第11題到第20題為必考題，每個試題考生都必須作答；第21題為選考題，請考生根據(jù)要求選答．

二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，把你的答案填在答題卷相應(yīng)題號的橫線上）

11．如右圖所示，這是計算的值的一個程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是．

12.設(shè)對任意實數(shù)都成立，則．

13．設(shè)是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的前項和，若，則公比的取值范圍是

14。在技術(shù)工程上，常用到雙曲線正弦函數(shù)和雙曲線余弦函數(shù)，而雙曲線正弦函數(shù)和雙曲線余弦函數(shù)與我們學(xué)過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有關(guān)類似的性質(zhì)，比如關(guān)于正、余弦函數(shù)有成立，而關(guān)于雙曲正、余弦函數(shù)滿足。請你運用類比的思想，寫出關(guān)于雙曲正弦、雙曲余弦很熟的一個新關(guān)系式

15．若不等式的解集是，則以下結(jié)論中：①；②；③；④；⑤，正確結(jié)論的序號是

三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16．（本小題滿分13分）在分別為角A、B、C所對的邊，且

（I）求角A的大��；（II）若的周長為L，求L的最大值。

17。(本小題滿分13分) 如圖，三棱柱中，面，,，，為的中點。

(I)求證：面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值

18．（本小題滿分13分）大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，某班一周內(nèi)（周六、周日休息）各天語文、數(shù)學(xué)、外語三科有作業(yè)的概率如下表：

周一

周二

周三

周四

周五

語文

數(shù)學(xué)

外語

根據(jù)上表：（I）求周五沒有語文、數(shù)學(xué)、外語三科作業(yè)的概率；

（II）設(shè)一周內(nèi)有數(shù)學(xué)作業(yè)的天數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。

19.(本題滿分13分) 已知拋物線D的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合. (Ⅰ)求拋物線D的方程； (Ⅱ)已知動直線過點P(4,0),交拋物線D于A、B兩點，坐標(biāo)原點O為線段PQ中點，求證：；（Ⅲ）是否存在垂直于軸的直線被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由.

20．(本小題滿分14分)若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

(Ⅰ)求的極值； (Ⅱ) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

21.本題有⑴、⑵、⑶三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．

（1）（本小題滿分7分）選修4－2：矩陣與變換

已知矩陣P=，Q=，若矩陣PQ對應(yīng)的變換把直線變?yōu)橹本€，求、的值.

（2）已知曲線C的極坐標(biāo)方程是．以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是：（是參數(shù)）.

(Ⅰ)將曲線C的極坐標(biāo)方程和直線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)普通方程；

(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且，試求實數(shù)值

(3) 設(shè)函數(shù)． (Ⅰ)作出函數(shù)的圖象；

(Ⅱ)若不等式的解集為，求值．

一、ACBCD DDCAB

二、11。_{12。12
13。}

14。

15。②③⑤

三、16解：（I）

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6分

（II）

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 9分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 12分

當(dāng) 。。。。。。。。。。。。。。 13分

17解（1）連接B₁C，交BC₁于點O，則O為B₁C的中點，

∵D為AC中點 ∴OD∥B₁A。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

∴B₁A∥平面BDC₁ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

∴CC₁⊥面ABC 則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

如圖以C為坐標(biāo)原點，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系則C₁(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) 。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

∴設(shè)平面的法向量為由得

，取，則。。。。。。。。。10分

又平面BDC的法向量為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分

cos

∴二面角C₁―BD―C的余弦值為。。。。。。。。。13分

18解：（I）設(shè)周五有語文、數(shù)學(xué)、外語三科作業(yè)分別為事件A₁、A₂、A₃周五沒有語文、數(shù)學(xué)、外語三科作業(yè)為事件A，則由已知表格得

、、。。。。。。。。。。。。2分

。。。。。。。。。。4分

（II）設(shè)一周內(nèi)有數(shù)學(xué)作業(yè)的天數(shù)為，則

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

所以隨機變量的概率分布列如下：

0

1

2

3

4

5

P

故。。。。。。。。。。13分

19解:(Ⅰ)由題意,可設(shè)拋物線方程為.

由,得.拋物線的焦點為,.

拋物線D的方程為. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(Ⅱ)設(shè)A由于O為PQ之中點,故當(dāng)軸時由拋物線的對稱性知。。。。。。。。。。。。。。。。。。

當(dāng)不垂直軸時,設(shè):,

由,

,,

…

(Ⅲ)設(shè)存在直線滿足題意,則圓心,過M作直線的垂線,

垂足為E, 設(shè)直線與圓交于點，可得,

即 =

=

==

當(dāng)時,,此時直線被以AP為直徑的圓截得的弦長恒為定值.…12分

因此存在直線滿足題意. ……13分

20解：(Ⅰ) ，

．。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

當(dāng)時，．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減；

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增；

∴當(dāng)時，取極小值，其極小值為．。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函數(shù)和的圖像在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，

即．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

由，可得當(dāng)時恒成立．

，由，得．。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

下面證明當(dāng)時恒成立．

令，則

，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

當(dāng)時，．

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增；

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減；

∴ 當(dāng)時，取極大值，也是最大值，其最大值為．

從而，即恒成立．。。。。。。。13分

∴ 函數(shù)和存在唯一的隔離直線．。。。。。。。。。。。。。。。14分

解法二：由(Ⅰ)可知當(dāng)時， (當(dāng)且當(dāng)時取等號) ．。。。。。7分

若存在和的隔離直線，則存在實常數(shù)和，使得

和恒成立，

令，則且

，即．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

后面解題步驟同解法一．

21（�。┙猓篜Q＝，

PQ矩陣表示的變換T：滿足條件

.　　所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）

直線任取點，則點在直線上，

故，又，得　所以　。。。。。（7分）

(2) （Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程是化為直角坐標(biāo)方程為:

直線的直角坐標(biāo)方程為：。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）（法一）由（1）知：圓心的坐標(biāo)為（2，0），圓的半徑R=2，

圓心到直線l的距離

或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

（法二）把（是參數(shù)）代入方程,

得,

.

或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

(3) 解:（Ⅰ）

函數(shù)如圖所示。。。。。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）由題設(shè)知：

如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象

（如圖所示）又解集為.

由題設(shè)知，當(dāng)或時，且即

由得：。。。。。。。。。。。。。。。。7分

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