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試題詳情

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一、選擇題

1．D  集合A表示函數(shù)y=的定義域，A=，B表示函數(shù)y=的值域， B=，所以A∩B=[0，2]．
說明：本題考查函數(shù)的定義域、值域、集合的表示法及集合的運(yùn)算.認(rèn)識(shí)一個(gè)集合主要從以下兩個(gè)方面入手：⑴集合中的元素是什么？⑵集合中都有哪些元素.

2．C由cos130°=cos(180°-50°)= -cos50°=a，得cos50°=-a.

于是sin50°=,所以tan50°=.

說明：本題考查誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的符號(hào)及同角三角函數(shù)的關(guān)系.

3．D ∵an+1-an=-2，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為-2的等差數(shù)列，an=a1+(n-1)d=3-2n，a100=-197.

說明：本題考察等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式．

4．（理科）A∵z1==1+i，z2=1+(2i)5=1+32i，∴A（1，1）、B（1,32）.

因此=1×1+1×32=33.

說明：本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．揭示了復(fù)數(shù)、向量、坐標(biāo)三者的聯(lián)系.

（文科）A  圓心O（0，0）到直線4x+3y-5=0的距離為d==1，圓的半徑為2，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為C，則∠AOC=60°，∠AOB=120°.=2×2×cos120°=-2.

說明：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式及向量的數(shù)量積運(yùn)算．本題也可以把直線與圓的方程聯(lián)立消元，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解，但運(yùn)算量較大.在解答與圓有關(guān)的問題時(shí)，要多利用圓的幾何特性.

5．(理科) C  f(x)=2xln(-x) (x<-1)，g(x)=2 ln(-x)+2x=2 ln(-x)+2 (x<-1) . g(x)的值域是y>2，反解得 -x=( y>2)，g-1(x)=-( x>2)，故選C.

說明：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式、對(duì)數(shù)基本公式、指對(duì)數(shù)互化及反函數(shù)的求法.

(文科) C 函數(shù)y=+2(x>2)的值域?yàn)椋?，+∞），反解得x=2ln(y-2)+2(y>3).所求的反函數(shù)為y=2ln(x-2)+2= ln(x-2)2+lne2= ln(ex-2e)2 (x>3)，故選C.

說明：本題考查對(duì)數(shù)基本公式、指對(duì)數(shù)互化及反函數(shù)的求法.

6．B 解法1：如圖，，||=2，

點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓.

   解法2：設(shè)

   則=（-1-x，-y），=（1-x，-y）

，

    即，軌跡為圓.

說明：本題考查向量加法的幾何定義，向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，橢圓的定義，圓的方程．
    學(xué)生容易錯(cuò)選A，這里要注意：.

7．C不等式組表示的平面區(qū)域（如圖）.
作直線l： x-2y＝0，平移l至點(diǎn)A(2，0)處時(shí)，z＝x-2y取得最大值2；至點(diǎn)B（）處時(shí)，z＝x-2y取最小值．

說明：本題考查線性規(guī)劃.要求做到準(zhǔn)確作圖和計(jì)算.注意：本題可以不求直線x-y+1=0及x+y=2的交點(diǎn)B的坐標(biāo).通過點(diǎn)（0，1）及點(diǎn)（0，2）處的目標(biāo)函數(shù)值估算.

8．B  由圖象知a<0，c<0，，得b<0.又圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，△=b2-4ac>0，解得 或，但b<0，因此選B.

說明：本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的能力．

9．C把a(bǔ)換成平面α，把b換成平面β，得到命題：“α∥β，α⊥cβ⊥c”，是真命題．把a(bǔ)換成平面α，把c換成平面γ，得到命題：“α∥b，α⊥γb⊥γ”，是假命題．把b換成平面β，把c換成平面γ，得到命題：“a∥β，a⊥γβ⊥γ”，是真命題．把a(bǔ)換成平面α，把b換成平面β，把c換成平面γ，得到命題：“α∥β，α⊥γβ⊥γ”，是真命題．

說明：本題考查空間線線、線面、面面的平行及垂直關(guān)系．要求學(xué)生準(zhǔn)確寫出四個(gè)命題，并加以判斷，考查的知識(shí)面較寬.

10．B兩條準(zhǔn)線間的距離為d==4b.

等號(hào)成立的條件是：，即b=c.此時(shí)a=c，e=.
說明：本題考查橢圓的性質(zhì)及均值不等式．此題表明，橢圓短軸長(zhǎng)不變時(shí)，兩準(zhǔn)線間的距離有最小值．

11．C f(x)=x3cos（3x+）=-x3 sin3x.∵y=x3和y=sin3x都是奇函數(shù)，且在（）上都是增函數(shù)，∴f(x) =-x3 sin3x是偶函數(shù)，且在（）上是減函數(shù)．
說明：本題考查誘導(dǎo)公式，函數(shù)奇偶性的判定及函數(shù)的單調(diào)性．利用基本函數(shù)的性質(zhì)去判斷復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)時(shí)常用的手法.對(duì)復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式，有時(shí)需要先做變形處理.

12．A 如圖，作OO1⊥β，O1為垂足，取AB中點(diǎn)C，連接OC，O1C，則OC⊥AB，O1C⊥AB，∠O1CO是二面角α―AB―β的平面角，所以∠O1CO=60°.在Rt△OO1C中，OO1=2，OC==4.

連接OA、OB，由OC=AC=BC=4得∠AOB=.又球的半徑OA=4，所以A、B兩點(diǎn)間的球面距離為4×=.
說明：本題考查球的截面及性質(zhì)，球面距離，二面角等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力.求球面上兩點(diǎn)間的球面距離時(shí)，必須先

    找出這兩點(diǎn)對(duì)球心所張的圓心角．

二、填空題

13．（理科）20  在3分線內(nèi)、外進(jìn)球數(shù)分別記為ξ1、ξ2，得分記為ξ．則ξ=2ξ1+3ξ2，

ξ1~B(10，0.7)，ξ2~B(5，0.4)，Eξ=2Eξ1+3Eξ2=2×10×0.7+3×5×0.4=20.
說明：本題考查隨機(jī)變量的分布、二項(xiàng)分布.

   （文科）  拋物線方程化為y=，y’=x. l1、l2的斜率分別為x1、x2，由l1⊥l2得x1x2=-4.符合條件的只有(-4,1)、(-2,2)、(-1,4)三中情況，所以l1⊥l2的概率為.

說明：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線垂直條件及等可能事件的概率.

14．7     ∵展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴展開式共有9項(xiàng)， n=8.

由Tr+1=，令，得r=6，

∴含x-1的項(xiàng)是第r+1=7項(xiàng)，屬于基本題型．

說明：本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)．

15．60°      解法1：直線l：y=（x-c）與右準(zhǔn)線x=的交點(diǎn)坐標(biāo)為P（，），因?yàn)辄c(diǎn)P在漸近線y=x上，所以=×，即．漸近線y=的傾斜角為30°.因此,兩條漸近線的夾角為60°.

解法2：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，OP⊥PF，由l的傾斜角為60°，可得∠POF=30°，因此,兩條漸近線的夾角為60°.
說明：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)．注意：由雙曲線的焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足就是準(zhǔn)線與該漸近線的交點(diǎn).

16．30   第一類：已知PA、PD、PO中的任意兩條，可編=3種

    題目；第二類：已知PA、PD、PO中的一條和AO、AD、OD

中的一條，可編×=9種題目；第三類：已知6條線段中的

一條和3個(gè)角中的一個(gè)，可編×=18種題目.一共可以編制

3+9+18=30種不同類型的題目.

說明：本題依托正棱錐，考查排列組合知識(shí)．通過解答此題，學(xué)

生不但訓(xùn)練了排列組合知識(shí)，而且了解了正棱錐題目的編制方法.

三、解答題

17．解：（Ⅰ）由sinA+cosA=平方得sin2A=1，

∵0°<2A<180°，∴2A=90°，A=45°.             …………………………2分

由sinB-cosB=sin(B-45°)=得 sin(B-45°)=.

∵0°<B<135°,-45°<B-45°<90°，∴B-45°=60°，B=105°.   …………4分

∴C=180°-(45°+105°)= 30°.                ………………………………5分
（Ⅱ）由得AB=BC×=        …………………………7分
  又sinB=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=  ………9分
  ∴△ABC的面積S=BA×BC×sinB=×=  …10分
說明：本題考查三角恒等變形、解斜三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力．就三角函數(shù)來說，本題有一定的綜合性，對(duì)運(yùn)算的準(zhǔn)確性要求較高．

18．解：（Ⅰ）對(duì)于圖1的串聯(lián)電路， D= ……………………………………2分

對(duì)于圖2的并聯(lián)電路，表示電路不通，所以 D=（或D=或D=）（只要求寫出一種情況）                       ………………………………………4分

對(duì)于圖3的混聯(lián)電路，D=（或或），（只要求寫出一種情況）                     ………………………………………6分

（Ⅱ）因?yàn)槭录嗀、B、C是相互獨(dú)立的，所以：

對(duì)于串聯(lián)電路， P（D）=P（）=0.9×0.8×0.7=0.504 ………………8分

對(duì)于并聯(lián)電路， P（D）=1-P（）=1-0.1×0.2×0.3=0.994 …………10分

對(duì)于混聯(lián)電路， P（D）=P（）P（）=0.9×(1-0.2×0.3)=0.846.

由此看出，并聯(lián)可靠性最大.家用照明電路應(yīng)采用的是并聯(lián).    ………………12分
說明：本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件和對(duì)立事件的概率.題目取材串并聯(lián)電路．因?yàn)樵S多概率問題都可以用串、并、混聯(lián)電路作模型.第一問讓學(xué)生寫出事件間的關(guān)系，雖然高考一般不這樣命題，但是，做此訓(xùn)練對(duì)理解“同時(shí)發(fā)生”、“互斥事件”、“對(duì)立事件”等概念是有好處的.現(xiàn)在學(xué)生解答概率題，往往只注意代數(shù)計(jì)算，而不注意事件間的關(guān)系.

19．解法1：（Ⅰ）分別取AD、BC中點(diǎn)M、N，連結(jié)PM交EF于G，連接PN、GN、MN.

則PM⊥AD，MN⊥AD.∠PMN是側(cè)面與底面所成的二面角的平面角.

故∠PMN=60°，△PMN是等邊三角形. ………………………………………2分

設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，連結(jié)OE，則OE∥PC，

∠ BEO是PC與BE所成的角. ………………4分

∵PO⊥BD，AC⊥BD，

∴BD⊥平面PAC，從而BO⊥OE，

 AB=4，則OB=2，OE=，

tan∠BEO=，

BE與PC所成的角為arctan；                       ……………6分

（Ⅱ）過O作OH⊥GN于H，連接CH.

∵BC⊥MN，BC⊥PN，MN∩PN=N，

∴BC⊥平面PMN.                                    …………………8分  

∴平面BCFE⊥平面PMN.

∴OH⊥平面BCFE.

∠OCH是直線AC與平面BCFE所成的角.  ………………………………10分

在Rt△OCH中，OH=MG=1，OC=2， sin∠OCH =.

因此AC與平面BCFE所成的角為arcsin.    ……………………………12分

      解法2：同方法一，得PN=PM=MN.               …………………………2分

建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A（2，-2，0），B（2，2，0），C（-2，2，0），

P（0，0，2），E（1，-1，），M（0，-2，0）.  ……………………3分

（Ⅰ）（-1，-3，），（-2，2，-2），

設(shè)BE與PC所成的角為θ，

則cosθ== .

BE與PC所成的角為arccos；………………6分

（Ⅱ）是平面BCFE的一個(gè)法向量， （0，-2，-2），……8分

=（-4，4，0）. ……………………………………………………………9分

設(shè)AC與平面BCFE所成的角為α，則sinα== .

AC與平面BCFE所成的角為arcsin.   ………………………………12分
說明：本題考查正棱錐的性質(zhì)，異面直線所成的角，線面角，二面角，線面垂直的判定與性質(zhì)，面面垂直的判定與性質(zhì).考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力以及用空間向量解決立體幾何問題的思想方法．

20．解：（理科）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）.

f¢(x)=aeaxlnx+eax×= eax（alnx+）.               ……………………………2分

    當(dāng)a=0時(shí),f(x)=lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)；        ……………………………3分

    當(dāng)a<0時(shí)，∵，，∴，

            又∵eax >0，∴當(dāng)x+∞時(shí)，f¢(x)<0，與f(x)在（0，+∞）上遞增矛盾；

                                                    ……………………………5分

    當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)g(x)= alnx+，則g’(x)=.

          當(dāng)0<x<時(shí)，g’(x)<0，當(dāng)x>時(shí)，g’(x)>0，所以g(x)在x=時(shí)取得最小值，g(x)的最小值為g()=-alna+a=a(1-lna).        ……………………8分

                若a<e，則g()>0，從而f¢(x)>0，f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)；若a=e，則g()=0，其余各點(diǎn)處，g(x)>0，從而f¢(x)≥0（僅在x=時(shí)取等號(hào)），f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)；若a>e，則g()<0，從而f¢()<0，與f(x)在（0，+∞）上遞增矛盾.          ……………………………11分

    綜上所述，a的取值范圍是[0，e].                 ……………………………12分

說明：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及不等式的基本知識(shí)，考查思維能力和分

類討論的能力．已知函數(shù)的單調(diào)性，去研究參數(shù)的取值范圍，是常見的題型，通常都轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，本題也可以轉(zhuǎn)化為alnx+≥0在（0，+∞）上恒成立問題，由于lnx的符號(hào)不定，所以用分離參數(shù)的方法并不簡(jiǎn)單.

（文科）（Ⅰ）f¢(x)＝x2-(a+1)x+a＝(x-a)(x-1)．      ……………………………2分

當(dāng)a=1時(shí)，f¢(x)＝(x-1)2≥0, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）；………………3分

當(dāng)a<1時(shí)，f¢(x)>0的解集是（-∞，a）∪（1，+∞），f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，a）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，1）；………………………………………… 5分

當(dāng)a>1時(shí)，f¢(x)>0的解集是（-∞，1）∪（a，+∞），f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）和（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）.………………………………………… 6分

（Ⅱ）解法1：∵f(x)=x[2x2-3(a+1)x+6a]有一個(gè)根是0，  …………………… 7分

∴f(x)有三個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于方程2x2-3(a+1)x+6a=0有兩個(gè)不等于0的相異實(shí)根.

由此得△=9(a+1)2-48a>0且a≠0，解得a>3或a<且a≠0. ……………11分

∴a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，）∪（3，+∞）.         ……………12分
解法2：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在（-∞，+∞）上遞增，f(x)=0只有一個(gè)實(shí)根；

當(dāng)a<1時(shí)，f極大=f(a)=a2(3-a)，f極小=f(1)= (3a-1)，由f(x)=0有3個(gè)實(shí)根知

a2(3-a)>0且(3a-1)<0，解得a<且a≠0;            …………………… 9分

當(dāng)a>1時(shí)，f極大= f(1)=(3a-1)，f極小= f(a)=a2(3-a)，由f(x)=0有3個(gè)實(shí)根知

a2(3-a)<0且(3a-1)>0，解得a>3;                   …………………… 11分
綜上：a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，）∪（3，+∞）. …………………12分
說明：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及不等式的基本知識(shí)，考查思維能力和分類討論的能力．把解含參不等式與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是常見的題型．第（Ⅱ）問的方法1是抓住了方程的特殊性，比較簡(jiǎn)單.方法2體現(xiàn)了方程與函數(shù)的聯(lián)系，具有普遍性.

21．解：（Ⅰ）由a1=S1=2-3a1得a1=，                 ……………………………1分

由Sn=2-(+1)an得Sn-1=2-(+1)an-1，

于是an=Sn- Sn-1=(+1)an-1-(+1)an，

整理得 =×（n≥2）,                  ……………………………3分

所以數(shù)列{}是首項(xiàng)及公比均為的等比數(shù)列.     ……………………………4分

（Ⅱ）（理科）由（Ⅰ）得=×=.    ……………………………5分

于是 2nan=n，Tn=1+2+3+…+n=，          ……………………………6分

，

An=2[（1-）+（-）+…+=2（1-）=.

                                               ……………………………8分

又=,問題轉(zhuǎn)化為比較與的大小,即與的大小.

設(shè)f(n)= ，g(n)= .

∵f(n+1)-f(n)=，當(dāng)n≥3時(shí), f(n+1)-f(n)>0,

∴當(dāng)n≥3時(shí)f(n)單調(diào)遞增，                      ……………………………10分

∴當(dāng)n≥4時(shí)，f(n) ≥f(4)=1，而g(n)<1, ∴當(dāng)n≥4時(shí)f(n) >g(n)，

經(jīng)檢驗(yàn)n=1,2,3時(shí)，仍有f(n) ≥g(n)，因此，對(duì)任意正整數(shù)n，都有f(n) >g(n),

即An <.                                  ……………………………12分
說明：本題全面考察等比數(shù)列、等差數(shù)列、裂項(xiàng)求和及數(shù)列不等式的有關(guān)知識(shí)．題目入口簡(jiǎn)單，既考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，又考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.第（Ⅱ）問通過函數(shù)的單調(diào)性比較大小，體現(xiàn)了函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系.學(xué)生也可以用數(shù)學(xué)歸納法解答.

（文科）（Ⅰ）由a1=S1=2-3a1得a1=，             ……………………………1分

由Sn=2-(+1)an得Sn-1=2-(+1)an-1，            …………………………2分

于是an=Sn- Sn-1=(+1)an-1-(+1)an，      

整理得 =×（n≥2）,                   …………………………5分

所以數(shù)列{}是首項(xiàng)及公比均為的等比數(shù)列.      …………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得