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    絕密★啟用前

    2006 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

    數(shù) 學(xué)(理工類) (北京卷)

    本試卷分第 I卷(選擇題)和第 II卷(非選擇題)兩部分,第 I卷 1 至2 頁,第 II卷 3 至 9 頁,

    共 150 分?荚嚂r間 120 分鐘。考試結(jié)束。將本試卷和答題卡一并交回。

    第 I 卷(選擇題共 40 分)

    注意事項(xiàng):

    1.  答第 I卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目寫在答題卡上。

    2.每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮

    擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。不能答在試卷上。

    一、本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中,選出符合題目要求 的一項(xiàng)。

    1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。

    試題詳情

    2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。

    案填在題中橫線上。

    (9)的值等于.
    (10)在的展開式中, 的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

    (11)若三點(diǎn) A(2,2),B(a,0),C(0,b)(0 ,b)(ab0)共線,則,

    的值等于 

    試題詳情

    二、填空題:本大題共 6 小題,每小 題 5 分,共 30 分。把答

    (12)在△ABC 中,若 C B A sin A: sinB: sinC =5:7:8. 則∠B 的大小是


    (13)已知點(diǎn) P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),那么|PO |的最小值

    等于,最大值等于.

    (14)已知A、B、C三點(diǎn)在球心為 O,半徑為R 的球面上,AC⊥BC,且 AB=R,那么 A、B 兩點(diǎn)間的球面距離為 球心到平面 ABC 的距離為.

    (15)(本小題共 12 分)

    已知函數(shù).

    (Ⅰ)求的定義域;

    (Ⅱ)設(shè)的第四象限的角,且,求的值

    (16)(本小題共 13 分)

    已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù) 

    的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,0),如圖所示,求:

    (Ⅰ)的值; (Ⅱ)a,b,c 的值.                      
     

     

    (17)(本小題共 14 分)

    如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐 P―ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且

    PA=PB,點(diǎn) E 是 PD 的中點(diǎn).

    (Ⅰ)求證:AC⊥PB;

    (Ⅱ)求證:PB//平面 AEC;           

    (Ⅲ)求二面角 E―AC―B 的大小.

     

     

    (18)(本小題共 13 分)

    某公司招聘員工,指定三門考試課程,有兩種考試方案.

    方案一:考試三門課程,至少有兩門及格為考試通過;

    方案二:在三門課程中,隨機(jī)選取兩門,這兩門都及格為考試通過.

    假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是 a,b,c,且三門課程考

    試是否及格相互之間沒有影響. 求:

    (Ⅰ)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率;

    (Ⅱ)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)

    (19)(本小題共 14 分)

    已知點(diǎn) M(-2,0),N(2,0),動點(diǎn) P滿足條件|PM |-|PN |=,記動點(diǎn) P的軌

    跡為 W.

    (Ⅰ)求 W 的方程;

    (Ⅱ)若 A,B 是W上的不同兩點(diǎn),O 是坐標(biāo)原點(diǎn),求

    、的最小值.

    (20)(本小題共 14 分)

    在數(shù)列中,若 a1,a2 是正整數(shù),且,3,4,5,…,則稱 

    為“絕對差數(shù)列”.

    (Ⅰ)舉出一個前五項(xiàng)不為零的“絕對差數(shù)列”(只要求寫出前十項(xiàng));

    (Ⅱ)若“絕對差數(shù)列”中,,,數(shù)列滿足 

    n=1,2,3,…,分雖判斷當(dāng)時, 與的極限是否存在,如果存在,求出其極

    限值;

    (Ⅲ)證明:任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項(xiàng).

     

     

     

     

     

    試題詳情

    一、選擇題(本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分)

    (1)D (2)C (3)B (4)A

    (5)C (6)A (7)D (8)C

     

    二、填空題(本大題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分)

    (9)    (10)-14    (11)    (12)
    (13)            (14)    

    三、解答題(本大題共 6 小題,共 80 分)

    (15)(共 12 分)

    解:(Ⅰ)由 得,

    故在定義域?yàn)?br> (Ⅱ)因?yàn)椋沂堑谒南笙薜慕?

      所以

     故

             
             

             

             

              .

    (16)(共 13 分)

    解法一:

    (Ⅰ)由圖象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上遞增,在(1,2)上遞減,因此在處取得極大值,所以.

    (Ⅱ)

    解得

    解法二:

     

    (Ⅰ)同解法一.

    (Ⅱ)設(shè)


    所以 

    由,

    得,
    所以.
    (17)(共 17 分)

    解法一:

    (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD,
    ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.

    又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,

    ∴AC⊥PB.

    (Ⅱ)連接BD,與 AC 相交于 O,連接 EO.

    ∵ABCD 是平行四邊形,

    ∴O 是 BD 的中點(diǎn)

    又 E 是 PD 的中點(diǎn)

    ∴EO∥PB.

    又 PB平面 AEC,EO平面 AEC,

    ∴PB∥平面 AEC.

    (Ⅲ)取 BC 中點(diǎn) G,連接 OG,則點(diǎn) G 的坐標(biāo)為,=.


    是二面角的平面角
     
     
    二面角E-AC-B的大小為.
    (18)(共 13 分)

    解:記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為 A,B,C,

    (Ⅰ)應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率




    應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率

      
       .

    (Ⅱ)因?yàn)?所以


       
    故,
    即采用第一種方案,該應(yīng)聘者考試通過的概率較大.
    (19)(共 14 分)

    解法一:

    (Ⅰ)由|PM|-|PN|=知動點(diǎn) P 的軌跡是以 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,實(shí)

    半軸長

    又半焦距 c=2,故虛半軸長
    所以 W 的方程為, 

    (Ⅱ)設(shè) A,B 的坐標(biāo)分別為,

    當(dāng) AB⊥x軸時,從而從而
    當(dāng)AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為,與W的方程聯(lián)立,消去y得

    故 
    所以  

                    
                 
                 
                  .
    又因?yàn)?所以,從而
    綜上,當(dāng)AB⊥軸時, 取得最小值2.
    解法二:
    (Ⅰ)同解法一.

    (Ⅱ)設(shè) A,B 的坐標(biāo)分別為,則, ,則


    則且所以
        


    當(dāng)且僅當(dāng),即時””成立.

    所以、的最小值是2.
    (20)(共 14 分)

    (Ⅰ)解:,(答案不惟一)

    (Ⅱ)解:因?yàn)樵诮^對差數(shù)列中,.所以自第 20 項(xiàng)開始,該數(shù)列是,,

    即自第 20 項(xiàng)開始。每三個相鄰的項(xiàng)周期地取值 3,0,3. 所以當(dāng)時,的極限

    不存在.

    當(dāng)時, ,所以
    (Ⅲ)證明:根據(jù)定義,數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下
     假設(shè)中沒有零項(xiàng),由于,所以對于任意的n,都有,從而
     當(dāng)時, ;
     當(dāng) 時,
     即的值要么比至少小1,要么比至少小1.


    由于是確定的正整數(shù),這樣減少下去,必然存在某項(xiàng) ,這與()
    矛盾. 從而必有零項(xiàng).
    若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第項(xiàng),記,則自第項(xiàng)開始,每三個相鄰的項(xiàng)周期地取值 0,,  , 即


    所以絕對差數(shù)列中有無窮多個為零的項(xiàng).

     

     

    絕密★啟用前

    2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

    數(shù)    學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)(北京卷)(編輯:ahuazi)

        本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,第Ⅰ卷1至2頁,第Ⅱ卷3至9頁,共150分?荚嚂r間120分鐘?荚嚱Y(jié)束,將本試卷和答題卡一并交回。

    第Ⅰ卷(選擇題  共40分)

    注意事項(xiàng):

    1.答第Ⅰ卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂寫在答題卡。

    2.每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。不能答在試卷上。

     

    一、本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。

    (1)    在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于(D)

    (A)第一象限                    (B)第二象限

    (C)第三象限                    (D)第四象限

    解:故選D

    (2)若與都是非零向量,則“”是“”的(C)

           (A)充分而不必要條件           (B)必要而不充分條件

    (C)充分必要條件               (D)既不充分也不必要條件

    解:ÛÛÛ

    故選C

    (3)在這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有(B)

           (A)36個                      (B)24個

    (C)18個                      (D)6個

    解:依題意,所選的三位數(shù)字有兩種情況:(1)3個數(shù)字都是奇數(shù),有種方法(2)3個數(shù)字中有一個是奇數(shù),有,故共有+=24種方法,故選B

    (4)平面的斜線交于點(diǎn),過定點(diǎn)的動直線與垂直,且交于點(diǎn),則動點(diǎn)的軌跡是(A)

         (A)一條直線                    (B)一個圓

    (C)一個橢圓                    (D)雙曲線的一支

    解:設(shè)與¢是其中的兩條任意的直線,則這兩條直線確定一個平面,且斜線垂直這個平面,由過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直可知過定點(diǎn)與垂直所有直線都在這個平面內(nèi),故動點(diǎn)C都在這個平面與平面的交線上,故選A

    (5)已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是(C)

        (A)                          (B)

    (C)                            (D)

    解:依題意,有0<a<1且3a-1<0,解得0<a<,又當(dāng)x<1時,(3a-1)x+4a>7a-1,當(dāng)x>1時,logax<0,所以7a-1³0解得x³故選C

    (6)在下列四個函數(shù)中,滿足性質(zhì):“對于區(qū)間上的任意,恒成立”的只有(A)

        (A)                     (B)

    (C)                     (D)

    解:|>1<1\ |<|x1-x2|故選A

    (7)設(shè),則等于(D)

        (A)                      (B)

    (C)                         (D)

    解:依題意,為首項(xiàng)為2,公比為8的前n+4項(xiàng)求和,根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得D

    (8)下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型,在某高峰時段,單位時間進(jìn)出路口的機(jī)動車輛數(shù)如圖所示,圖中分別表示該時段單位時間通過路段的機(jī)動車輛數(shù)(假設(shè):單位時間內(nèi),在上述路段中,同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等),則20,30;35,30;55,50 (C)

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    解:依題意,有x1=50+x3-55=x3-5,\x1<x3,同理,x2=30+x1-20=x1+10

    \x1<x2,同理,x3=30+x2-35=x2-5\x3<x2故選C

    絕密★啟用前

    2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

    數(shù)    學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)(北京卷)

    第Ⅱ卷(共110分)

    注意事項(xiàng):

    1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上

    2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。

    二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。把答案填在題中橫線上。

    (9)的值等于

    解:==

    (10)在的展開式中,的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

    解:令得r=1故 的系數(shù)為

    =-14

    (11)若三點(diǎn)共線,則的值等于

    解:, ,依題意,有(a-2)?(b-2)-4=0

    即ab-2a-2b=0所以=

    (12)在中,若,則的大小是.

    解: Ûa:b:c=5:7:8設(shè)a=5k,b=7k,c=8k,由余弦定理可解得的大小為.

    (13)已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),那么的最小值等于,最大值等于.

    解:畫出可行域,如圖所示:

                                       

    易得A(2,2),OA=

    B(1,3),OB=

    C(1,1),OC=

    故|OP|的最大值為,

    最小值為.

     

     

    (14)已知三點(diǎn)在球心為,半徑為的球面上,,且,那么兩點(diǎn)的球面距離為,球心到平面的距離為.

    解:如右圖,因?yàn),所以AB是截面

    的直徑,又AB=R,所以△OAB是等邊三角形,

    所以ÐAOB=,故兩點(diǎn)的球面距離為,

    于是ÐO1OA=30°,所以球心到平面的距離

    OO1=Rcos30°=.

     

     

    三、解答題:本大題共6小題,共80分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。

    (15)(本小題共12分)

           已知函數(shù),

        (Ⅰ)求的定義域;

        (Ⅱ)設(shè)是第四象限的角,且,求的值.

    解:(1)依題意,有cosx¹0,解得x¹kp+,

    即的定義域?yàn)椋鹸|xÎR,且x¹kp+,kÎZ}

    (2)=-2sinx+2cosx\=-2sina+2cosa

    由是第四象限的角,且可得sina=-,cosa=\=-2sina+2cosa

    (16)(本小題共13分)

           已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值,其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),,如圖所示.求:

    (Ⅰ)的值;

    (Ⅱ)的值.

    解:(1)由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,當(dāng)xÎ(-¥,1)時,>0,當(dāng)xÎ(1,2)時,<0,當(dāng)xÎ

    (2,+¥)時,>0,所以當(dāng)x=1時,函數(shù)取得極大值,

    即x0=1

    (2)=3ax2+2bx+c,依題意有:,=5即有

    3a+2b+c=0 ,12a+4b+c=0,a+b+c=5解得a=2,b=-9,c=12

     

    (17)(本小題共14分)

         如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐中,,平面,且,點(diǎn)是的中點(diǎn).

    (Ⅰ)求證:;

    (Ⅱ)求證:平面;

    (Ⅲ)求二面角的大小.

    解:(1)由平面可得PA^AC

    又,所以AC^平面PAB,所以

    (2)如圖,連BD交AC于點(diǎn)O,連EO,則

    EO是△PDB的中位線,\EOPB

    \PB平面

    (3)如圖,取AD的中點(diǎn)F,連EF,F(xiàn)O,則

    EF是△PAD的中位線,\EFPA又平面,\EF^平面

    同理FO是△ADC的中位線,\FOAB\FO^AC由三垂線定理可知\ÐEOF是二面角E-AC-D的平面角.又FO=AB=PA=EF\ÐEOF=45°而二面角與二面角E-AC-D互補(bǔ),故所求二面角的大小為135°.

     

    (18)(本小題共13分)

           某公司招聘員工,指定三門考試課程,有兩種考試方案.

           方案一:考試三門課程,至少有兩門及格為考試通過;

           方案二:在三門課程中,隨機(jī)選取兩門,這兩門都及格為考試通過.

           假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是,且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.

        (Ⅰ)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率;

        (Ⅱ)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)

    解:設(shè)三門考試課程考試通過的事件分別為A,B,C,相應(yīng)的概率為a,b,c

    (1)考試三門課程,至少有兩門及格的事件可表示為AB+AC+BC+ABC,設(shè)其概率為

    P1,則P1=ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc=ab+ac+bc-2abc

    設(shè)在三門課程中,隨機(jī)選取兩門,這兩門都及格的概率為P2,則P2=ab+ac+bc

    (2)P1-P2=(ab+ac+bc-2abc)-(ab+ac+bc)=ab+ac+bc-2abc

    =(ab+ac+bc-3abc)=〔ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)〕>0

    \P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率.

     

    (19)(本小題共14分)

           已知點(diǎn),動點(diǎn)滿足條件.記動點(diǎn)的軌跡為.

        (Ⅰ)求的方程;

        (Ⅱ)若是上的不同兩點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),求的最小值.

    解:(1)依題意,點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,所求方程為: 

    (x>0)

    (2)    當(dāng)直線AB的斜率不存在時,設(shè)直線AB的方程為x=x0,此時A(x0,),

    B(x0,-),=2

    當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,代入雙曲線方程中,得:

    (1-k2)x2-2kbx-b2-2=0……………………1°

    依題意可知方程1°有兩個不相等的正數(shù)根,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

    解得|k|>1又=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=>2

    綜上可知的最小值為2

    (20)(本小題共14分)

          在數(shù)列中,若是正整數(shù),且,則稱為“絕對差數(shù)列”.

    (Ⅰ)舉出一個前五項(xiàng)不為零的“絕對差數(shù)列”(只要求寫出前十項(xiàng));

    (Ⅱ)若“絕對差數(shù)列”中,,數(shù)列滿足,,分別判斷當(dāng)時,與的極限是否存在,如果存在,求出其極限值;

    (Ⅲ)證明:任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項(xiàng).

    解:(Ⅰ),(答案不惟一)

    (Ⅱ)因?yàn)樵诮^對差數(shù)列中,.所以自第 20 項(xiàng)開始,該數(shù)列是,,

    即自第 20 項(xiàng)開始。每三個相鄰的項(xiàng)周期地取值 3,0,3. 所以當(dāng)時,的極限

    不存在.

    當(dāng)時, ,所以
    (Ⅲ)證明:根據(jù)定義,數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下
     假設(shè)中沒有零項(xiàng),由于,所以對于任意的n,都有,從而
     當(dāng)時, ;
     當(dāng) 時,
     即的值要么比至少小1,要么比至少小1.


    由于是確定的正整數(shù),這樣減少下去,必然存在某項(xiàng) ,這與()
    矛盾. 從而必有零項(xiàng).
    若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第項(xiàng),記,則自第項(xiàng)開始,每三個相鄰的項(xiàng)周期地取值 0,,  , 即


    所以絕對差數(shù)列中有無窮多個為零的項(xiàng).

     

     


    同步練習(xí)冊答案