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    浙江省臺州市2009屆高三第二次調(diào)考試卷(數(shù)學理)     2009.4

     

    命題:陳傳熙(玉環(huán)縣玉城中學)   許彪(臺州中學) 

    審卷:李繼選(臺州一中) 

    注意:本卷考試時間120分鐘,請考生將所有題目都做在答題卷上.

    參考公式:

    如果事件,互斥,那么                     棱柱的體積公式

                            

    如果事件,相互獨立,那么                 其中表示棱柱的底面積,表示棱柱的高

                              棱錐的體積公式

    次獨立重復試驗中事件恰好              

    發(fā)生次的概率是,               其中表示棱錐的底面積,表示棱錐的高

    其中表示在一次試驗中事件發(fā)生的概率       棱臺的體積公式

    球的表面積公式                       

    球的體積公式                         其中分別表示棱臺的上底、下底面積,

     其中表示球的半徑                           表示棱臺的高

     

    一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

    1.若集合,則集合不可能

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    (A)           (B)          (C)        (D)

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    2.在的展開式中,常數(shù)項為

    (A)-28                     (B)-70                  (C)70                      (D)28

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    3.已知兩條不同的直線,與三個不同的平面,,,滿足, ,,,那么必有

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    (A)                                        (B),

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    (C)                                        (D),

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    4.在等比數(shù)列中,,,,則

    (A)16             (B)27                        (C)36            (D)81

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    5.已知均為實數(shù),則“”是“關(guān)于一元二次不等式的解集為”的

    (A)充分不必要條件                                      (B)必要不充分條件

    (C)充分必要條件                                          (D)既不充分也不必要條件

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    6.在一張矩形紙片上,畫有一個圓(圓心為O)和一個定點F(F在圓外).在圓上任取一點M,將紙片折疊使M與點F重合,得到折痕CD.設(shè)直線CD與直線OM交于點P,則點P的軌跡為

    (A)雙曲線         (B)橢圓         (C)圓            (D)拋物線

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    7.若對,,使成立,則

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    (A)             (B)          (C)          (D)

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    8.如圖,一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為,且一個內(nèi)角為的菱形,俯視圖為正方形,那么這個幾何體的表面積為

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    (A)                   

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    (B)

    (C)4                          

    (D)8

     

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    9.將三個分別標有A,B,C的小球隨機地放入編號分別為1,2,3,4的四個盒子中,則第1號盒子內(nèi)有球的不同放法的總數(shù)為

    (A)27             (B)37            (C)64            (D)81

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    10.已知向量,滿足?.若對每一確定的,的最大值和最小值分別為, , 則對任意,的最小值是

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    (A)             (B)            (C)            (D)1

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    二.填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分.

    11.已知復數(shù),則  ▲  

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    12.某路段屬于限速路段,規(guī)定通過該路段的汽車時速不得超過,否則視為違規(guī)扣分.某天,有1000輛汽車經(jīng)過了該路段,經(jīng)過雷達測速得到這些汽車運行時速的頻率分布直方圖如圖所示,則違規(guī)扣分的汽車大約為  ▲  輛.

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    13.已知等差數(shù)列的前項和為,且過點的直線的斜率是4,若,則  ▲ 

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    14.某個缺水地區(qū)為了提倡居民節(jié)約用水和控制用水浪費現(xiàn)象,實行了水費的分段計價,其計價的流程如圖所示.其中輸入為居民每月的用水量(單位:噸),輸出為相應(yīng)的水費(單位:元).已知某戶居民某月用水量為噸,則該戶居民用水超過20噸的部分應(yīng)繳納的水費為  ▲ 

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    15.已知向量,其中為連續(xù)兩次投擲骰子得到的點數(shù),則的夾角能成為直角三角形的內(nèi)角的概率是  ▲ 

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    16.若是定義在R上的奇函數(shù),且當時,;當時,.則函數(shù)的零點有  ▲  個.

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    17.已知點,如果直線經(jīng)過點,那么實數(shù)的取值范圍是  ▲ 

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    三.解答題:本大題共5小題,共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

    18.(本小題滿分14分)

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    已知函數(shù)

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    (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

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    (Ⅱ)已知,且,求的值.

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    19.(本小題滿分14分)

    一袋子中有大小、質(zhì)量均相同的10個小球,其中標記“開”字的小球有5個,標記“心”字的小球有3個,標記“樂”字的小球有2個.從中任意摸出1個球確定標記后放回袋中,再從中任取1個球.不斷重復以上操作,最多取3次,并規(guī)定若取出“樂”字球,則停止摸球.求:

    (Ⅰ)恰好摸到2個“心”字球的概率;

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    (Ⅱ)摸球次數(shù)的概率分布列和數(shù)學期望.

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    20.(本小題滿分14分)

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     如圖,在三棱柱中,,頂點

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    底面上的射影恰為B點,且

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    (Ⅰ)分別求出與底面,棱BC所成的角;

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    (Ⅱ)在棱上確定一點P,使,并求出

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    二面角的平面角的余弦值.

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    21.(本小題滿分15分)

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    已知橢圓的離心率為,橢圓上的點到焦點的最小距離為1.

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    (Ⅰ)求橢圓的方程;

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    (Ⅱ)若直線與橢圓交于兩點,且為坐標原點),點.試求點的軌跡方程.

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    22.(本小題滿分15分)

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    已知函數(shù),其中無理數(shù)

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        (Ⅰ)若,求證:;

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    (Ⅱ)若在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;

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    (Ⅲ)對于區(qū)間(1,2)中的任意常數(shù),是否存在使成立?若

    試題詳情

    存在,求出符合條件的一個;否則,說明理由.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    試題詳情

    數(shù)   學(理科)    2009.4

    一、選擇題:本大題共有10小題,每小題5分,共50分.

    題號

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    答案

    C

    D

    A

    B

    B

    A

    C

    C

    B

    B

    二、填空題:本大題共有7小題,每小題4分,共28分.

    11. 1   12. 110   13. 78   14.  15.  16. 7   17.

    三.解答題:本大題共5小題,共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

    18.(Ⅰ)解:.……………………… 4分

    ,解得

    所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .…………… 7分

    (Ⅱ)解:由,得.故.……………… 10分

    于是有 ,或

    .因,故.……………… 14分

    19.(Ⅰ)解:恰好摸到兩個“心”字球的取法共有4種情形:

    開心心,心開心,心心開,心心樂.

    則恰好摸到2個“心”字球的概率是

    .………………………………………6分

    (Ⅱ)解:

    ,

    .…………………………………………10分

    故取球次數(shù)的分布列為

    1

    2

    3

    .…………………………………………………14分

    20.(Ⅰ)解:因在底面上的射影恰為B點,則⊥底面

    所以就是與底面所成的角.

    ,故

    與底面所成的角是.……………………………………………3分

    如圖,以A為原點建立空間直角坐標系,則

    ,

    ,

    與棱BC所成的角是.…………………………………………………7分

    (Ⅱ)解:設(shè),則.于是

    舍去),

    則P為棱的中點,其坐標為.…………………………………………9分

    設(shè)平面的法向量為,則

    ,故.…………………11分

    而平面的法向量是,

    ,

    故二面角的平面角的余弦值是.………………………………14分

    21.(Ⅰ)解:由題意知:,,,解得

    故橢圓的方程為.…………………………………………………5分

       (Ⅱ)解:設(shè),

    ⑴若軸,可設(shè),因,則

    ,得,即

    軸,可設(shè),同理可得.……………………7分

    ⑵當直線的斜率存在且不為0時,設(shè),

    ,消去得:

    .………………………………………9分

    ,知

    ,即(記為①).…………11分

    ,可知直線的方程為

    聯(lián)立方程組,得 (記為②).……………………13分

    將②代入①,化簡得

    綜合⑴、⑵,可知點的軌跡方程為.………………………15分

    22.(Ⅰ)證明:當時,.令,則

    ,遞增;若,遞減,

    的極(最)大值點.于是

    ,即.故當時,有.………5分

    (Ⅱ)解:對求導,得

    ①若,則上單調(diào)遞減,故合題意.

    ②若,

    則必須,故當時,上單調(diào)遞增.

    ③若的對稱軸,則必須

    故當時,上單調(diào)遞減.

    綜合上述,的取值范圍是.………………………………10分

    (Ⅲ)解:令.則問題等價于

            找一個使成立,故只需滿足函數(shù)的最小值即可.

            因

    ,

    故當時,,遞減;當時,,遞增.

    于是,

    與上述要求相矛盾,故不存在符合條件的.……………………15分

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