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安徽省皖北十校高三聯考數學試題(理科)

第I卷

一.選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) ?

1. 與復數z=的積為1的復數,在復平面對應的點位于

A. 第一象限    B 第二象限    C.   第三象限   D. 第四象限

2.  已知f:x→x²是從集合A到集合B的映射，如果B=｛1，2｝,且A∩B=｛1｝，則滿足條件的集合A的個數是

A .  4        B . 6      C .  8       D .  9

3.若函數f（x）的導數是f^/(x)=－x(x+1),則函數g(x)=f(ax-1)(a<0)的單調減區(qū)間是

A. [                     B. (

C. []                    D.(

4.設m,n表示不同直線,表示三個不同平面,給出以下命題       

① 若m ，⊥，則m⊥             

② 若m⊥,m∥，則⊥     

③ 若⊥, ⊥，則∥

④ 若=m，=n，m∥n,則∥

其中正確命題的個數是

A.  1             B.   2       

   C.  3             D.   4

5.已知直線x=m與函數,

函數，

的圖像分別相交于M,N兩點，則|MN|的最大值為

A.  1          B.        

C.          D.   2                                        

6.下面給出一個程序框圖，

則輸出x的值是

A.  42       B.  43     C.   88      D.  89   

7.已知f(x)是偶函數，且，則的值是

A.  3       B.   6           C.   5         D.  10

8.已知向量，則向量與夾角的取值范圍是

A.      B.         C.        D .    

9.一個幾何體的俯視圖如圖所示的矩形,主（正）視圖是底邊長為8，高為4的等腰三角形，左視圖是底邊長為6，高為4的等腰三角形，那么該幾何體的體積是

A.   48           B.  192 

 C .  .64           D.   100

10.已知函數的圖像與直線有且只有兩個交點，這兩個交點橫坐標的最大值為，則等于

A.   B.    C.     D.

11.四位同學站在正方形ABCD的四個頂點傳球，每人只傳給他左邊或右邊的人，第一次由A傳出，則經過八次傳球又回到A的概率是

A.        B.          C.           D.  

12.已知拋物線的焦點為F,P是拋物線上不同于頂點的任一點,過點P作拋物線的切線,交y軸于Q,則

A.  －2p       B.  －p         C.   0           D.   p

二.填空題:（本大題共4小題，每小題4分，共16分,把答案填在答題卡的相應位置）

13.在極坐標系中,點到曲線上的點的距離的最小值為              .

14.二項式的展開式中的常數項是           .

15.已知函數，定義函數f(x)

。則使恒成立的實數的取值范圍             .

16.設等差數列｛a_n｝的前n項和為Sn，若a₁≥0,S₅≤15,a₇≥4，則a₉的取值范圍是         .

第Ⅱ卷

三.解答題:（本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分12分）

在△ABC中，C=2A,cosA=

(1)求cosB

(2)求AC的長

18.（本小題滿分12分）

已知從神州七號飛船帶回的某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都是，某研究所分甲，乙兩組，進行該種子的發(fā)芽試驗，假定某次試驗種子發(fā)芽則稱該次試驗成功，種子沒有發(fā)芽，則稱試驗失敗。

（1）甲小組每次一粒，直到試驗成功為止，求試驗兩次終止的概率。

（2）乙小組共進行四次實驗，設X表示四次實驗結束時實驗成功的次數與失敗的次數之差的絕對值，求X的分布列及數學期望

19.（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O在正方形ABCD內，且O到AB,AD的距離分別為2和1，P是SC的中點。E是SD的中點，SO=3

（1）求證:SA∥平面POE

（2）  求OP與平面SBC所成角的正弦

(3)  求點C到平面OPB的距離

20.（本小題滿分12分）

已知三個函數,它們各自的最小值恰好是函數的三個零點（其中t是常數，且0<t<1）

(1)求證：

（2）設的兩個極值點分別為

    （1）若，求f(x)

   (2)求|m-n|的取值范圍

21. （本小題滿分12分）

已知拋物線y²=x與圓(x-7)²+y²=5

(I)  求證：拋物線與圓無交點

（II）如圖，過P(a,0)，作與x軸不垂直的直線

交拋物線與A,D兩點，交圓與C,B兩點，

且|AB|=|CD|,求a的取值范圍．

22.（本小題滿分14分）

已知數列｛a_n｝的前n項的和為S_N，且有a₁=2,3S_n=5a_n-a_n-1+3Sn-1

（1）       求數列｛a_n｝的通項公式

（2）       設b_n=(2n-1)a_n，求數列｛b_n｝的前n項的和T_N

（3）       若C_n=tⁿ[lg(2t)ⁿ+lga_n+2](t>0)且數列｛c_n｝是單調遞增數列，求實數t的取值范圍

一.選擇題

1.A  2. C  3. A  4. A  5 .C  6 D  7.B  8. A   9. C   10. D   11. B   12. C

二.填空題

 13.      14 . 45   15 .       16.

三．解答題

17解：∵C=2A，∴,

∴

(2) ∵

由正弦定理

∴

∴

故AC的長為25

18解：甲實驗兩次終止為事件A：即第一次失敗，第二次成功

故P(A)=

(2)乙小組實驗四次，成功的次數分別是0，1，2，3，4，相應的失敗次數為4，3，2，1，0，故X的所有取值為4，2，0

P(X=4)=

X

4

2

0

P

故X的分布列為

X的數學期望EX=

19解法一（1）取AD,BC的中點M,N，則M,O,N三點共線，

∵EP∥DC∥MN,

  ∴E,P,O,M.N共面，SA∥EM,

∴SA∥平面POE

（2）

建立直角坐標系如圖：N(0,3,0),A(2,-1,0),

B(2,3,0),C(-2,3,0)，S(0,0,3)，

P（-1，

設平面SBC的法向量為，

取

所以OP與平面SBC所成角的正弦值是

（3）OPBSBC的法向量為，

取

所以點C到平面OPB的距離為

解法二：

（1）取AD,BC的中點M,N，則M,O,N三點共線，

EP∥DC∥MN,

  ∴E,P,O,M.N共面，SA∥EM,

∴SA∥平面POE

(2)連SN,BC⊥OM,BC⊥SO,∴BC⊥平面SON，

∴平面SBC⊥平面SON,

作OH⊥SN,則OH⊥平面SBC,連PH,

則∠OPH就是直線與平面所成的角

OP=,OH=,

∴sin∠OPH=

(3)作PQ⊥OC,則PQ⊥平面OBC,作QR⊥OB,連PR,則PR⊥OB

∴POB⊥平面PQR，作QF⊥PR,則QF⊥平面POB,

∴QF就是點Q到平面OPB的距離

∵點Q是OC 的中點，所以C到平面OPB的距離為2QF

在

所以C到平面POB的距離h=2QF=

20解（1）三個函數的最小值依次為0，  由f（0）=0 ∴c=0

∴f(x)=x(x²+ax+b),故方程x²+ax+b=0的兩根是

由

    ∴

（2）

，方程的兩個根為

∴且

由

由

∴

（3）

∵

∴

21設直線l: y=k(x-a)

聯立

由  ①，且AD中點的橫坐標

聯立

由②且BC中點 橫坐標

由和相等，可得③

③代人①得

③代人②得

故實數a的取值范圍是

22解：由

得

（2）

∴

同乘公比得

∴

∴

（3）

(1)當0<t<1，則對任意正整數恒成立，,

(2) 當t>1時，對任意正整數恒成立,∴

綜合可知，實數t的取值范圍是