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已知數列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項和S_n滿足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令bn=

1

an•an+1

．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求證：Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)＜

1

6

（n≥1）；
（Ⅲ）令Tn=

1

2

(b1a+b2a2+b3a3+…+bnan)（a＞0），求同時滿足下列兩個條件的所有a的值：①對于任意正整數n，都有Tn＜

1

6

；②對于任意的m∈(0，

1

6

)，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀時，T_n＞m．

在數列{an}中，a1=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

2

2an-1

，其中n∈N*．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設cn=

2

n+1

an，數列{c_nc_n+2}的前n項和為T_n，是否存在正整整m，使得Tn＜

1

cmcm+1

對于n∈N^*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，說明理由．