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已知函數(shù)f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx．（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍．

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

-1
（1）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）試證明：對?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

．

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2+lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求證：在區(qū)間（1，+∞）上函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x3圖象的下方；
（Ⅲ）請你構(gòu)造函數(shù)h（x），使函數(shù)F（x）=f（x）+h（x）在定義域（0，+∞）上，存在兩個極值點，并證明你的結(jié)論．

已知函數(shù)f（x）=elnx+

k

x

（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，k為正數(shù)）
（I）若f（x）在x=x₀處取得極值，且x₀是f（x）的一個零點，求k的值；
（II）若k∈[1，e]，求f（x）在區(qū)間[

1

e

，1]上的最大值；
（III）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（

1

e

，e）上是減函數(shù)，求k的取值范圍．