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已知函數,數列滿足.

(1)求數列的通項公式；

(2)證明:數列是遞減數列.

已知函數f(x)=

1

4x+2

(x∈R)．
（Ⅰ）證明f(x)+f(1-x)=

1

2

；
（Ⅱ）若數列{a_n}的通項公式為an=f(

n

m

)(m∈N*，n=1，2，…，m)，求數列{a_n}的前m項和S_m；
（Ⅲ）設數列{b_n}滿足：b1=

1

3

，bn+1=

b

2 n

+bn，設Tn=

1

b1+1

+

1

b2+1

+…+

1

bn+1

，若（Ⅱ）中的S_m滿足對任意不小于2的正整數n，S_m＜T_n恒成立，試求m的最大值．

已知函數f(x)=

4x-2

x+1

(x≠-1，x∈R)，數列{a_n}滿足 a₁=a（a≠-1，a∈R），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若數列{a_n}是常數列，求a的值；
（2）當a₁=4時，記bn=

an-2

a n-1

(n∈N*)，證明數列{b_n}是等比數列，并求出通項公式a_n．

已知函數f（x）=

x

1+x

（x＞0），設f（x）在點（n，f（n））（n∈N*）處的切線在y軸上的截距為b_n，數列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，an+1=f(an)(n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在數列{

bn

a 2 n

+

λ

an

}中，僅當n=5時，

bn

a 2 n

+

λ

an

取最小值，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）令函數g（x）=f（x）（1+x）²，數列{c_n}滿足：c₁=

1

2

，c_n+1=g（c_n）（n∈N*），求證：對于一切n≥2的正整數，都滿足：1＜

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

＜2．

已知函數f(x)=

2x

x+2

，數列{an}滿足：a1=

4

3

，an+1=f(an).
（1）求證數列{

1

an

}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求證：Sn＜

8

3

.