題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
的圖象過坐標(biāo)原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時，，令得
當(dāng)
變化時，
的變化情況如下表：
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0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
�！�在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時, 
.當(dāng)
時, 
,最大值為0；
當(dāng)
時, 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
| f(x) |
| x |
| f(x) |
| x2 |
| x | a | b | c | a+b+c |
| f（x） | d | d | t | 4 |
已知函數(shù)
的定義域為
，若
在上為增函數(shù)，則稱為“一階比增函數(shù)”；若
在上為增函數(shù)，則稱為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為
，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為
.
(Ⅰ)已知函數(shù)
，若
且
，求實數(shù)
的取值范圍；
(Ⅱ)已知
，
且
的部分函數(shù)值由下表給出，
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求證：
；
(Ⅲ)定義集合
請問：是否存在常數(shù)
，使得
，
，有
成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由.
已知函數(shù)
的定義域為
，若
在上為增函數(shù)，則稱為“一階比增函數(shù)”；若
在上為增函數(shù)，則稱為“二階比增函數(shù)”.
我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為
，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為
.
(Ⅰ)已知函數(shù)
，若
且
，求實數(shù)
的取值范圍；
(Ⅱ)已知
，
且
的部分函數(shù)值由下表給出，
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求證：
；
(Ⅲ)定義集合
請問：是否存在常數(shù)
，使得
，
，有
成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由.
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單調(diào)遞減
