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				數 學 試 卷 答 卷 紙  2009.5			【查看更多】
			


		
     
    


		
    
		
    題目列表(包括答案和解析)
    

		
		
    

    


    
	
    				
    
									
    用0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的自然數．
    （Ⅰ）在組成的三位數中，求所有偶數的個數；
    （Ⅱ）在組成的三位數中，如果十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都小，則稱這個數為“凹數”，如301，423等都是“凹數”，試求“凹數”的個數；
    （Ⅲ）在組成的五位數中，求恰有一個偶數數字夾在兩個奇數數字之間的自然數的個數．
    

			
    
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    一種計算裝置，有一數據入口點A和一個運算出口點B，按照某種運算程序：
    ①當從A口輸入自然數1時，從B口得到
    1
    3
    ，記為f(1)=
    1
    3
    ；
    ②當從A口輸入自然數n（n≥2）時，在B口得到的結果f（n）是前一個結果f（n-1）的
    2(n-1)-1
    2(n-1)+3
    倍；
    試問：當從A口分別輸入自然數2，3，4 時，從B口分別得到什么數？試猜想f（n）的關系式，并證明你的結論．
    

			
    
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    （2012•長春模擬）某學校為了研究學情，從高三年級中抽取了20名學生三次測試的數學成績和物理成績，計算出了他們三次成績的平均名次如下表：
    

    


    
學生序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
    

    
數    學
1.3
12.3
25.7
36.7
50.3
67.7
49.0
52.0
40.0
34.3
    

    
物    理
2.3
9.7
31.0
22.3
40.0
58.0
39.0
60.7
63.3
42.7
    

    
學生序號
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
    

    
數    學
78.3
50.0
65.7
66.3
68.0
95.0
90.7
87.7
103.7
86.7
    

    
物    理
49.7
46.7
83.3
59.7
50.0
101.3
76.7
86.0
99.7
99.0
    學校規(guī)定平均名次小于或等于40.0者為優(yōu)秀，大于40.0者為不優(yōu)秀．
    （1）對名次優(yōu)秀者賦分2，對名次不優(yōu)秀者賦分1，從這20名學生中隨機抽取2名，用ξ表示這兩名學生數學科得分的和，求ξ的分布列和數學期望；
    （2）根據這次抽查數據，是否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為物理成績優(yōu)秀與否和數學成績優(yōu)秀與否有關系？（下面的臨界值表和公式可供參考：
    

    


    
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
    

    
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
    K2=
    n(ad-bc)2
    (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
    ，其中n=a+b+c+d）
    

			
    
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    右表是某班英語及數學成績的分布表，已知該班有50名學生，成績分1至5個檔次．如：表中所示英語成績?yōu)?分，數學成績?yōu)?分的學生有5人．現設該班任意一位學生的英語成績?yōu)閙，數學成績?yōu)閚．
    

    


    
n
    m    		
數  學
    

    
5
4
3
2
1
    

    
英
     
    語    		
5
1
3
1
0
1
    

    
4
1
0
7
5
1
    

    
3
2
1
0
9
3
    

    
2
1
b
6
0
a
    

    
1
0
0
1
1
3
    （1）求m=4，n=3的概率；
    （2）求在m≥3的條件下，n=3的概率；
    （3）求a+b的值，并求m的數學期望；
    （4）若m=2與n=4是相互獨立的，求a，b的值．
    

			
    
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    設f（x）=logn+1（n+2）（n∈N*）．
    （Ⅰ）求f（1）•f（2）和f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•f（5）•f（6）的值；
    （Ⅱ）若把使f（1）•f（2）•…•f（k）為整數的正整數k叫做企盼數，試求f（1）•f（2）•…•f（k）=2008的企盼數k．
    

			
    
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    說明：
    1．本解答給出的解法供參考．如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．
    2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
    3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
    4．只給整數分數，填空題不給中間分數．
    一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）
    1．{0，1}       2．1       3．2      4．－3       5．5      6．[2，5]     
    7．60         
  8．4      9．  
10．（，）     11．     12．4  
    13．        14．(，]
    二、解答題（本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
    15．（本題滿分14分）
    解：（1）tana＝＝，…………………………………………3分
    所以＝，又因為sin2a＋cos2a＝1，
    解得sina＝．………………………………………………………7分
    （2）因為0＜a＜＜b＜p，所以0＜b－a＜p．
    因為cos(b－a)＝，所以sin(b－a)＝．……………………9分
    所以sinb＝sin[(b－a)＋a]
    ＝sin(b－a)cosa＋cos(b－a)sina＝×＋×＝，……12分
    因為b∈(，p)，
    所以b＝．………………………………………………………14分
     
    16．（本題滿分14分）
    證明：（1）取AB1中點F，連結DF，CF．因為D為A1B1中點，
    所以DF∥=AA1． 
    因為E為CC1中點，AA1∥=CC1，
    所以CE∥=DF．
    所以四邊形CFDE為平行四邊形．
    所以DE∥CF．…………………………………………………4分
    因為CFÌ平面ABC，DE(/平面ABC，
    所以DE∥平面ABC．…………………………………………7分
    （2） 因為AA1C1C為矩形，所以AC^CC1．
    因為BB1C1C為菱形，所以CC1＝CB．B1C^BC1．…………8分
    因為AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4，
    所以AC∶AB∶BC＝3∶5∶4，
    所以AC2＋BC2＝AB2．……………………………………10分
    所以AC^BC．
    所以AC^平面BB1C1C．…………………………………12分
    所以AC^BC1．
    所以BC1^平面AB1C．……………………………………14分
    


    
 
    
  
 
    
 
    
  
  
 
    

    

 
     
     
     
     
     
     
     
     
    17．（本題滿分14分）
    解：（1）設從A地運出的油量為a，根據題設，直接運油到B地，往返油耗等于a，
    所以B地收到的油量為(1－)a．
    所以運油率P1＝＝．……………………………………3分
    而從A地運出的油量為a時，C地收到的油量為(1－)a，
    B地收到的油量(1－)(1－)a，
    所以運油率P2＝
    ＝(1－)(1－)＝(＋)(1－)．…………………………7分
    所以P2－P1＝x(1－x)，因為0＜x＜1，
    所以P2－P1＞0，即P2＞P1．…………………………………………9分
    （2）因為P2＝(＋)(1－)≤＝．
    當且僅當＋＝1－，即x＝時，取“＝”．
    所以當C地為AB中點時，運油率P2有最大值．……………………………………14分
    18．（本題滿分16分）
    解：（1）因為拋物線頂點在原點，準線方程為x＝－1，
    所以拋物線開口向右，且－＝－1，所以p＝2．
    所以所求的拋物線方程為y2＝4x．…………………………………………4分
    （2）設P(x0，y0)，則y02＝4x0，半徑r＝PF＝x0＋1，
    圓P的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2，……………………………6分
    設AB的方程為y＝2x＋b，由AB＝2CD得，
    圓心P到直線AB的距離2d＝，……………………………6分
    所以5d2＝r2，即d＝r．
    因為r＝|x0＋1|，d＝，
    代入得ㄏ2x0－y0＋bㄏ＝ㄏx0＋1ㄏ．…………………………………8分
    即2x0－y0＋b＝x0＋1或2x0－y0＋b＝－x0－1．
    所以x0－y0＋b－1＝0或3x0－y0＋b＋1＝0．
    因為y02＝4x0，所以x0＝y02，
    代入得y02－y0＋(b－1)＝0或y02－y0＋(b＋1)＝0．……………………10分
    方程y02－y0＋(b－1)＝0關于y0有解Û1－(b－1)≥0，b≤2．
    方程y02－y0＋(b＋1)＝0．關于y0有解Û1－3(b＋1)≥0，b≤－．…12分
    綜上所述，b的最大值為2．……………………………………………14分
    此時，y0＝2，x0＝1，r＝x0＋1＝2，
    所以圓P的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝4．……………………………16分
    19．（本題滿分16分）
    解： f ¢(x)＝(x＞0)  2分
      
（1）由已知，得f
¢(x)在[1，＋∞)上有解，即a＝在(1，＋∞)上有解，
           又當x∈(1，＋∞)時，＜1，
    所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范圍是(0，1)．………………………………6分
      
（2）①當a≥時，
           因為f ¢(x)＞0在(e，e2)上恒成立，這時f(x)在[e，e2]上為增函數，
    所以當x＝e時，f(x)min＝f(e)＝1＋  ……………………………………………… 8分
           ②當0＜a≤時，
    因為f ¢(x)＜0在(e，e2)上恒成立，
    這時f(x)在[e，e2]上為減函數，
    所以，當x＝e2時，f(x)min＝f(e2)＝2－，…………………………………………10分
           ③當＜a＜時，令f¢(x)＝0得，x＝∈(e，e2)，
    又因為對于x∈(e，)有f
¢(x)＜0，
    對于x∈(，e2)有f ¢(x)＞0，
    所以當x＝時，f(x)min＝f()＝ln＋1－．………………………………………14分
           綜上，f(x)在[e，e2]上的最小值為
           f(x)min＝………………………………………16分
    20．（本題滿分16分）
    解：（1）由條件得an＋2＝(2＋)an＋1－an，
    所以an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
    即bn＋1＝2bn，又b1＝a2－a1＝2，所以bn≠0，
    從而＝2對n∈N*成立，
    所以數列{bn}是首項為b1＝2，公比q＝2的等比數列，
    所以bn＝2n．…………………………………………………6分
    （2）由（1）得an＋1―an＝2n．所以(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)×2n，………………8分
    所以2a2－a1＝2×21，
    3a3－2a2＝3×22，
    4a4－3a3＝4×23，
    …………，
    nan－(n－1)an－1＝n×2n－1，
    相加得nan－a1＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1，
    所以2(nan－a1)＝     2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n．
    兩式相減得：－（nan－a1)＝2(21＋22＋…＋2n－1)－n×2n＝2n＋1－4－n×2n，所以
    an＝2n－＝．…………………………………………………………11分
    （3）因為cn＝＝＝4[－]，…………13分
    所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn
    ＝4[－＋－＋－＋…＋－]
    ＝4[－]＝2－＜2．…………………………………………………16分
     
    南京市第十三中學2009屆高三年級第三次模擬考試
            數學附加卷答案   2009.5
    1．（幾何證明選講）（本題滿分10分）
    證明：證明：因為A，B，C，D四點共圓，所以ÐADF＝ÐABC．
    因為PF∥BC，所以ÐAFP＝ÐABC．所以ÐAFP＝ÐFQP．
    因為ÐAPF＝ÐFPA，所以△APF∽△FPQ．所以＝．………………5分
    所以PF2＝PA×PD．因為PQ與圓相切，所以PQ2＝PA×PD．
    所以PF2＝PQ2．所以PF＝PQ．……………………………………………10分
     
    2．（矩陣與變換）（本題滿分10分）
    解：∵MN＝ ＝，
    設直線y＝2x＋1上一點(x0，y0)在MN作用下變?yōu)?x¢，y¢)，則
     ＝， 即＝，即
    從而可得……………………………………5分
    ∵y0＝2x0＋1，代入得y¢＝2(x¢－y¢)＋1，
    化簡得2x¢－y¢＋1＝0，即6x¢－5y¢＋3＝0．
    即變換后的直線方程是6x－5y＋3＝0．…………………………10分
     
    3．（坐標系與參數方程）（本題滿分10分）
    解：⊙O的直角坐標方程是x2＋y2－x－y＝0，
    即(x－)2＋(y－)2＝．………………………………………………3分
    直線l的極坐標方程為r(cosq－sinq)＝4，
    直線l的直角坐標方程為x－y－4＝0．………………………………6分
    設M(＋cosq，＋sinq)為⊙C上任意一點，M點到直線l的距離
    d＝＝，
    當q＝時，dmin＝．…………………………………………………10分
     
    4．（不等式選講）（本題滿分10分）
    解：因為＋＋≥3＝3，………………………………………4分
    所以ㄏx＋1ㄏ＋ㄏx－1ㄏ≤3，
    x∈[－，]．…………………………………………………………10分
     
    5．（本題滿分10分）
    解：解：（1）選取的5只恰好組成完整“奧運會吉祥物”的概率
           ………………………………………………3分
       （2）ξ的取值為100，80，60，40.…………………………………4分
           
           ……………………………………………………8分
    ξ的分布列為
    ξ
    100
    80
    60
    40
           ……………………………………………………………………………………9分
    Eξ=…………………………………………10分
     
    6．（本題滿分10分）
    解：（1）∵，∴.
    ∴（）.
    ∴（）.
    ∴（）.
    ∴（）.
    ∴數列為等比數列，其公比為，首項，
    而，且，∴.
    ∴.   
    ∴.…………………………………………………………4分．
       （2）∵，
         ∴  .
    ∴.
    ∴，        ①
    ∴2.       ②
    ①-②得 -，
                 

             
    ，
    ∴.…………………………………………………6分．
    ∴（）==.
    當時，=；
    當時，-（）=4（4-5）=-4，；
    當時，，
    且，
    ∴時，總有.…………………………………………………10分．
    ∴時，總有．
     
     
     
    		
    
	
    
	
    
		
    


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