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				所以.因此直線與平面所成角的正弦值.			【查看更多】
			


		
     
    


		
    
		
    題目列表(包括答案和解析)
    

		
		
    

    


    
	
    				
    
									
    如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
    


    （Ⅰ）證明PC⊥AD；
    


    （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
    


    （Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.
    


     
    


    【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.
    


    


    （1）證明：易得，于是,所以
    


    (2) ,設(shè)平面PCD的法向量，
    


    則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
    


    所以二面角A-PC-D的正弦值為.
    


    （3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.
    


    由，故 
    


    所以，，解得，即.
    


    解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.
    


    


    (2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.
    


    因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，
    


    因此所以二面角的正弦值為.
    


    （3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故
    


    


    在中，由,,
    


    可得.由余弦定理，,
    


    所以.
    


     
    

			
    
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    1. 構(gòu)造向量，，所以，.由數(shù)量積的性質(zhì)，得，即的最大值為2.
    2. ∵，令得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，. 
    3.∵，∴，，又，∴，則，所以周期.作出在上的圖象知：若，滿足條件的（）存在，且，關(guān)于直線對稱，，關(guān)于直線對稱，∴；若，滿足條件的（）存在，且，關(guān)于直線對稱，，關(guān)于直線對稱，
    ∴.  
    4. 不等式（）表示的區(qū)域是如圖所示的菱形的內(nèi)部， 
    ∵，
    當(dāng)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大，此時(shí)的最大值為；
    當(dāng)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大，此時(shí)的最大值為3.
    5. 由于已有兩人分別抽到5和14兩張卡片，則另外兩人只需從剩下的18張卡片中抽取，共有種情況.抽到5 和14的兩人在同一組，有兩種情況:
    (1) 5 和14 為較小兩數(shù)，則另兩人需從15～20這6張中各抽1張,有種情況；
    (2) 5 和14 為較大兩數(shù)，則另兩人需從1～4這4張中各抽1張,有種情況.
    于是，抽到5 和14 兩張卡片的兩人在同一組的概率為.
    6. ∵，∴，
    設(shè)，，則.
    作出該不等式組表示的平面區(qū)域（圖中的陰影部分）.
    令，則，它表示斜率為的一組平行直線，易知，當(dāng)它經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值.
    解方程組，得，∴
    		
    
	
    
	
    
		
    


    同步練習(xí)冊答案