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    解:⑴ 證明:由題設(shè).得..-------------------------------------2分又.所以數(shù)列是首項(xiàng)為.且公比為的等比數(shù)列.--------4分⑵ 解:由(Ⅰ)可知.于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為.-------6分所以數(shù)列的前項(xiàng)和.----------------8分⑶ 證明:對(duì)任意的. ---------------10分.所以不等式.對(duì)任意皆成立.---------------------12分 查看更多

     

    題目列表(包括答案和解析)

    已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 (N*),其中

    (Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;

    (Ⅱ) 設(shè) (N*).

    ①證明:

    ② 求證:.

    【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,

    所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。

    解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由.  ……2分

    若存在,

    從而有,與矛盾,所以.

    從而由.  ……6分

     (Ⅱ)①證明:

    證法一:∵

     

    .…………10分

    證法二:,下同證法一.           ……10分

    證法三:(利用對(duì)偶式)設(shè),,

    .又,也即,所以,也即,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以.即

                        ………10分

    證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時(shí), ,命題成立;

       ②假設(shè)時(shí),命題成立,即,

       則當(dāng)時(shí),

        即

    故當(dāng)時(shí),命題成立.

    綜上可知,對(duì)一切非零自然數(shù),不等式②成立.           ………………10分

    ②由于,

    所以,

    從而.

    也即

     

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    壯懷激烈千古恨 初出茅廬志已衰

      繼薩凱里之后,大概又過了半個(gè)世紀(jì).歐洲“數(shù)學(xué)之王”高斯的至友匈牙利數(shù)學(xué)家伏爾夫剛·鮑里埃,終身從事證明“第五公設(shè)”的研究,由于心血耗盡,毫無成效,便懷著沉重的心情,給那酷愛數(shù)學(xué)的兒子亞諾什·鮑耶(1802~1860)寫信,希望小鮑耶“不要再做克服平行公理的嘗試”.他忠告兒子說:“投身于這一貪得無度地吞人們的智慧、精力和心血的無底洞,白花時(shí)間在上面,一輩子也證不出這個(gè)命題來.”他滿腹心酸地寫到:“我經(jīng)過了這個(gè)毫無希望的夜的黑暗,我在這里面埋沒了人生的一切亮光、一切歡樂和一切希望.”最后告誡自己心愛的兒子說:“若再癡戀這一無止無休的勞作,必然會(huì)剝奪你生活的一切時(shí)間、健康、休息和幸福!”但是,年僅21歲的小鮑耶卻是敢向“無底洞”覓求真知的探索者.他認(rèn)真吸取前人失敗的教訓(xùn),初出茅廬就大顯身手.小鮑耶匠心獨(dú)運(yùn),大膽創(chuàng)新,決然將“第五公設(shè)”換成他自身的否定.從“三角形三個(gè)內(nèi)角和小于180°”這一令人瞠目結(jié)舌的假設(shè)出發(fā),建立起一套完整協(xié)調(diào)、天衣無縫的新幾何體系.小鮑耶滿懷激情地將自己的科學(xué)創(chuàng)見向父親報(bào)捷.老伏爾夫剛以之見教于至友高斯,不久,高斯復(fù)信鮑里埃,信中寫到:“如果我一開始便說我不能稱贊這樣的成果,你一定會(huì)感到驚訝.但是,我不能不這樣說,因?yàn)榉Q贊這些成果就等于稱贊我自己.令郎的這些工作,他走過的路,以及所獲得的成果,跟我過去30年至35年前的所思所得幾乎一模一樣.”高斯在回信結(jié)尾還開誠布公地提到:“我自己的著作,盡管寫好的只是一部分,我本來也想發(fā)表,因?yàn)槲遗乱承┤说暮奥暎F(xiàn)在,有了朋友的兒子能夠這樣寫下來,免得他與我一樣湮沒,那是使我非常高興的.”這位當(dāng)代數(shù)學(xué)大師恐怕做夢也沒想到,他這封推心置腹的信,竟會(huì)一舉撞毀初露鋒芒的數(shù)壇新星!

      高斯的復(fù)信給小鮑耶帶來意想不到的毀滅性打擊.躊躇滿志的鮑耶誤認(rèn)為高斯動(dòng)用自己擁有的崇高權(quán)威來壟斷和奪取這一新體系的發(fā)明優(yōu)先權(quán).為此,他痛心疾首,認(rèn)為自己心血澆灌出來的成果和嘔心瀝血的辛勤工作,竟得不到大家的理解、支持和同情.于是郁郁寡歡,大失所望,發(fā)誓拋棄了一切數(shù)學(xué)研究.

    1.對(duì)于“數(shù)學(xué)之王”高斯給鮑耶的回信,你有什么看法呢?如果你是高斯,你該怎樣回信?

    2.躊躇滿志的鮑耶誤認(rèn)為“高斯動(dòng)用自己擁有的崇高權(quán)威來壟斷和奪取這一新體系的發(fā)明優(yōu)先權(quán)”,進(jìn)而“郁郁寡歡,大失所望,發(fā)誓拋棄了一切數(shù)學(xué)研究”.你又有何看法呢?假如你是鮑耶,你又該怎么做呢?

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