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如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：的離心率，A₁，A₂分別是橢圓E的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，圓A₂的半徑為a，過(guò)點(diǎn)A₁作圓A₂的切線，切點(diǎn)為P，在x軸的上方交橢圓E于點(diǎn)Q．
（1）求直線OP的方程；
（2）求的值；
（3）設(shè)a為常數(shù)，過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)B、C，分別交圓A點(diǎn)M、N，記三角形OBC和三角形OMN的面積分別為S₁，S₂．求S₁S₂的最大值．

已知在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，F(xiàn)₁（-c，0）（c＞0）是橢圓的左焦點(diǎn)，A（a，0），B（0，b）分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)O是橢圓的中心．又點(diǎn)P在橢圓上，且滿(mǎn)足條件：OP∥AB，點(diǎn)H是點(diǎn)P在x軸上的投影．
（Ⅰ）求證：當(dāng)a取定值時(shí)，點(diǎn)H必為定點(diǎn)；
（Ⅱ）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限，以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切，且四邊形ABPH的面積等于3+

2

，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

已知點(diǎn)是F拋物線C與橢圓C的公共焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)拋物線上一點(diǎn)P，作拋物線的切線l，切點(diǎn)P在第一象限，如圖，設(shè)切線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，記直線OP，F(xiàn)A，F(xiàn)B的斜率分別為k，k₁，k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若k，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

如圖，在橢圓C中，點(diǎn)F₁是左焦點(diǎn)，A（a，0），B（0，b）分別為右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)O為橢圓的中心．又點(diǎn)P在橢圓上，且滿(mǎn)足條件：OP∥AB，點(diǎn)H是點(diǎn)P在x軸上的射影．
（1）求證：當(dāng)a取定值時(shí)，點(diǎn)H必為定點(diǎn)；
（2）如果點(diǎn)H落在左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)之間，試求橢圓離心率的取值范圍；
（3）如果以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切，且凸四邊形ABPH的面積等于3+

2

，求橢圓的方程．