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已知平面直角坐標(biāo)系下的一列點(diǎn)P_n（a_n，b_n）滿(mǎn)足an+1=anbn+1，bn+1=

bn

1- a 2 n

，且P1(

1

4

，

3

4

)(n∈N*)．
（Ⅰ） 求點(diǎn)P₂坐標(biāo)，并寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線(xiàn)L的方程；
（Ⅱ） 猜想點(diǎn)P_n（n≥2）與直線(xiàn)L的位置關(guān)系，并加以證明；
（Ⅲ） 若c₁=1，c_n+1=b_nc_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求

lim

n→∞

Sn的值．

已知橢圓C₁：

x2

5

+

y2

2

=1和圓C：x²+y²=4，且圓C與x軸交于A(yíng)₁，A₂兩點(diǎn)．
（1）設(shè)橢圓C₁的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P的圓C上異于A(yíng)₁，A₂的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)PF的垂線(xiàn)交橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)Q，試判斷直線(xiàn)PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線(xiàn)x+y-3=0上，若存在點(diǎn)N∈C，使得∠OMN=60°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求x₀的取值范圍．

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線(xiàn)l₁：x=-2的距離為d₁，到點(diǎn)F（-1，0）的距離為d₂，且

d2

d1

=

2

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線(xiàn)C的方程；
（2）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F且與曲線(xiàn)C交于不同兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A或B不在x軸上），分別過(guò)A、B點(diǎn)作直線(xiàn)l₁：x=-2的垂線(xiàn)，對(duì)應(yīng)的垂足分別為M、N，試判斷點(diǎn)F與以線(xiàn)段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ，使S₂²=λS₁S₃成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
進(jìn)一步思考問(wèn)題：若上述問(wèn)題中直線(xiàn)l1：x=-

a2

c

、點(diǎn)F（-c，0）、曲線(xiàn)C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，c=

a2-b2

)，則使等式S₂²=λS₁S₃成立的λ的值仍保持不變．請(qǐng)給出你的判斷 （填寫(xiě)“不正確”或“正確”）（限于時(shí)間，這里不需要舉反例，或證明）．

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于A(yíng)，B的動(dòng)點(diǎn)，且△APB面積的最大值為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及離心率；
（Ⅱ）直線(xiàn)AP與橢圓在點(diǎn)B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)D，當(dāng)直線(xiàn)AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF的位置關(guān)系，并加以證明．

已知圓C方程為x²+y²-8mx-（6m+2）y+6m+1=0（m∈R，m≠0），橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上．
（1）證明圓C恒過(guò)一定點(diǎn)M，并求此定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）判斷直線(xiàn)4x+3y-3=0與圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)m=2時(shí)，圓C與橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)相切，且橢圓過(guò)（1）中的點(diǎn)M，求此時(shí)橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點(diǎn)A，B，使得對(duì)橢圓上任意一點(diǎn)Q（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)），直線(xiàn)QA，QB的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．