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如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D、E分別是AA₁、B₁C的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求異面直線A₁C₁與B₁D所成角的大��；
（Ⅲ）求二面角C-B₁D-B的大小．

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如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P為A₁C₁的中點(diǎn)，AB=BC=kPA．
（I）求三棱錐P-AB₁C與三棱錐C₁-AB₁P的體積之比；
（II）當(dāng)k為何值時(shí)，直線PA⊥B₁C．

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如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分別為BB₁、AC₁的中點(diǎn)．
（I）證明：ED為異面直線BB₁與AC₁的公垂線；
（II）設(shè)AA1=AC=

2

AB，求二面角A₁-AD-C₁的大�。�

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如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D是AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線A₁C₁與B₁D所成角的大�。�
（Ⅱ）求二面角C-B₁D-B的大�。�
（Ⅲ）在B₁C上是否存在一點(diǎn)E，使得DE∥平面ABC？若存在，求出

B1E

EC

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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17、如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，點(diǎn)M是線段AB中點(diǎn)，N是線段A₁C₁的中點(diǎn)．
求證：MN∥平面BCC₁B₁．

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一、選擇題

1．D  2．A  3．A  4．B  5．B  6．C  7．C  8．C  9．C  10．B  11．D  12．A

二、填空題

13．         14．      15．       16．③④

三、解答題

17．解：（1）將得

（2）不等式即為

即

①當(dāng)

②當(dāng)

③.

18．解：

19．解：（1）設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則，可得：

（2）

20．解法（一）

（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）設(shè)點(diǎn)E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）過(guò)D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

  ∴∠DHD₁為二面角D₁―EC―D的平面角.

設(shè)AE=x，則BE=2－x

解法（二）：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E（1，1，0），從而，

，設(shè)平面ACD₁的法向量為，則

也即，得，從而，所以點(diǎn)E到平面AD₁C的距離為

（3）設(shè)平面D₁EC的法向量，∴

由  令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依題意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=時(shí)，二面角D₁―EC―D的大小為.

21．解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°當(dāng)n=1時(shí)，

   ∴，命題正確.

2°假設(shè)n=k時(shí)有

   則

而

又

∴時(shí)命題正確.

由1°、2°知，對(duì)一切n∈N時(shí)有

方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

       1°當(dāng)n=1時(shí)，∴；

    2°假設(shè)n=k時(shí)有成立，

       令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)

有：即

也即當(dāng)n=k+1時(shí)  成立，所以對(duì)一切

   （2）下面來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)：所以

,

又b_n=－1，所以

22．解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，

∴切線AP的方程為：

  切線BP的方程為：

解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：

所以△APB的重心G的坐標(biāo)為 ，

所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為：

   （2）方法1：因?yàn)?/p>

由于P點(diǎn)在拋物線外，則

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：

即

所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：

直線BF的方程：

所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：

，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.